Dejemos que $(G,*)$ sea un grupo y $g$ sea un elemento fijo de $G$ . Demostrar que $G=\{g*x \mid x \in G\}$

Question

Dejemos que $(G,*)$ sea un grupo y $g$ sea un elemento fijo de $G$ . Demostrar que $G=\{g*x \mid x \in G\}$

Mi prueba :

Dejemos que $(G,*)$ sea un grupo y $g$ sea un elemento fijo de $G$ .
Dejemos que $x=g^{-1}*y$ , donde $y$ es un elemento arbitrario de $G$ .
Ahora podemos escribir $g*x=g*(g^{-1}*y)=(g*g^{-1})*y$ por la propiedad asociativa de los grupos.
Pero $(g*g^{-1})*y=e*y=y$ , donde $e$ es el elemento de identidad en $G$ .
Por lo tanto, cualquier elemento $y$ de $G$ puede escribirse como $g*x$ y por lo tanto $G=\{g*x \mid x \in G\}$

No encuentro ningún agujero en el argumento, pero parece demasiado simple. ¿Algún comentario? ¿Es esto correcto?

Answer 1

Tal vez para resumir todos los comentarios y tener una respuesta a la pregunta, podemos simplemente mostrar que el mapa $$ g \rightarrow gx $$ es una biyección sobre $ G $ :

1) Inyección: suponer $gx =gy $ . Entonces premultiplicamos por $g^{-1}$ para concluir $x=y$

2) Sobre: dejar $w \in G $ . Entonces $g(g^{-1}w)=(gg^{-1})w =w $ .

Así que el mapa $x \rightarrow gx$ es una biyección sobre $G$ para que $G$ ={ $gx: x \in G$ } (aunque con mostrar el mapa es suficiente).