<blockquote>
<p>Integrar la función $$f(x,y,z)=6z$ $ sobre el tetraédrico $$R=\{(x,y,z):x\geq0, \ y\geq 0, \ z\geq 0, \ 5x+y+z \leq 5\}.$ $</p>
</blockquote>
<p>Este tetraédrico puede obtener hegiths en $z$-eje de 0 a 5 en el primer octante. Dibujo esto, conseguir que los límites son</p>
<p>\begin{array}{lcl}
0 \leq x \leq 1 \\
0 \leq y \leq 5-5x \\
0 \leq z \leq -5x-y+5
\end{matriz}</p>
<p>Por lo tanto</p>
<p>$$\iiint_R 6z \ dV=\int_0^1\int_0^{5-5x}\int_0^{-5x-y+5}6z \ dzdydx=\frac{125}{4}.$$</p>
<p>¿Puede alguien confirmar esto es correcto y compruebe cualquier mejora?</p>
Respuestas
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SiongthyeGoh
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Sí, es correcto .\begin{align} &\int_0^1 \int_0^{5-5x} \int_0^{-5x-y+5} 6z \,\,\, dz dy dx \\ &=\int_0^1 \int_0^{5-5x} 3(-5x-y+5)^2 \,\,dy dx \\ &=\int_0^1 \int_0^{5-5x} 3(5x+y-5)^2 \,\,dy dx \\ &=\int_0^1 -(5x+0-5)^3 \, dx \\ &=-5^3 \int_0^1(x-1)^3 \, dx \\ &= -5^3 \frac{(x-1)^4\mid_0^1}{4}\\ &=\frac{125}{4} \end {align}
Sí, me parece absolutamente correcto como configurar y también como cálculo.
Para comprobar la cuenta de resultado que la integral dada es igual a
$$6 \cdot z_G \cdot V=6 \cdot \frac54 \cdot \frac{25}{6}=\frac{125}{4}$$
de hecho para las propiedades geométricas del tetraedro el centroide está en $\frac{H}{4}$ y volumen es $\frac{A\cdot H}{3}$.
