Cálculo de Hom(A,B)

Question

Últimamente he estado estudiando módulos y álgebra homológica, pero de alguna manera he echado en falta cómo calcular Hom(A,B) para grupos abelianos, módulos y Hom(A,_)/Hom(_,B) para secuencias exactas. No tengo ningún problema con las tonterías abstractas del tema. Pero los ejemplos explícitos son útiles y esta construcción rara vez se menciona explícitamente en los textos, así que sospecho que es bastante trivial, pero aun así me gustaría que alguien me lo escribiera.

¿Es tan sencillo como encontrar generadores en A y elegir elementos en B a los que enviarlos? (con adjetivos cuidadosos, por supuesto, pero busco la idea general).

También sería muy útil contar con algunos ejemplos. (Si muestran una idea general, no sólo una construcción ingeniosa).

Gracias.

Answer 1

Supongo que probablemente hay cosas inteligentes que decir en general, pero realmente no sé qué decir más allá de "un homomorfismo se especifica por lo que hace a los generadores, y especificar las imágenes de los generadores da un homomorfismo si y sólo si todas las relaciones son enviadas a cero". Así que vamos a trabajar con ejemplos en su lugar. Hago un gran uso de las propiedades universales.

$\mathbb{Z}$ es el grupo abeliano libre en un generador. Esto significa que $\text{Hom}(\mathbb{Z}, A)$ puede identificarse canónicamente con $A$ (donde la identificación envía un homomorfismo a la imagen de $1$ ).

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es el grupo abeliano libre sobre un generador de orden $p$ . Esto significa que $\text{Hom}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, A)$ puede identificarse canónicamente con el subgrupo de todos los elementos de $A$ de orden (dividir) $p$ .

$\mathbb{Q}$ es el colímite de sus subgrupos $\frac{1}{n} \mathbb{Z}$ con las inclusiones obvias, por lo que $\text{Hom}(\mathbb{Q}, A)$ puede identificarse canónicamente con el límite apropiado de copias de $\text{Hom}(\mathbb{Z}, A) \cong A$ . La imagen de $1 \in \mathbb{Q}$ debe ser divisible, por lo que si $A$ no tiene elementos divisibles, entonces $\text{Hom}(\mathbb{Q}, A) = 0$ . Si $A$ es libre de torsión, entonces $\text{Hom}(\mathbb{Q}, A)$ puede identificarse canónicamente con el subgrupo de elementos divisibles de $A$ ya que en este caso la imagen de $1 \in \mathbb{Q}$ especifica de forma única un homomorfismo.

Eso se encarga de todas las combinaciones de $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ pero probablemente valga la pena decir también algunas cosas sobre los homomorfismos en estos grupos.

Un homomorfismo en $\mathbb{Z}$ tiene imagen $n \mathbb{Z}$ para algunos $n \ge 0$ . Si $n > 0$ entonces la imagen es isomorfa a $\mathbb{Z}$ . Cualquier sobreyección a $\mathbb{Z}$ se puede dividir, ya que $1 \in \mathbb{Z}$ puede ser enviado a cualquier elemento de su preimagen, por lo que cualquier elemento de un grupo abeliano $A$ que tiene imagen no nula bajo un homomorfismo $A \to \mathbb{Z}$ debe tener un orden infinito, y el subgrupo que genera debe ser un sumando directo de $A$ y esta condición necesaria es también suficiente.

Un homomorfismo $A \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ necesariamente factores a través de $A/pA$ que es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$ . Por lo tanto, $\text{Hom}(A, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ puede identificarse canónicamente con el espacio vectorial dual $(A/pA)^{\ast}$ en $\mathbb{F}_p$ .

Homomorfismos en $\mathbb{Q}$ parecen algo complicados en general.

Para ejemplos más complicados, supongo que lo más inteligente es escribir secuencias exactas cortas y calcular los grupos Ext. Sin embargo, no sé mucho sobre esto, y no estoy seguro de que los ejemplos con los que estás teniendo problemas merezcan técnicas de este nivel.