Supongo que probablemente hay cosas inteligentes que decir en general, pero realmente no sé qué decir más allá de "un homomorfismo se especifica por lo que hace a los generadores, y especificar las imágenes de los generadores da un homomorfismo si y sólo si todas las relaciones son enviadas a cero". Así que vamos a trabajar con ejemplos en su lugar. Hago un gran uso de las propiedades universales.
$\mathbb{Z}$ es el grupo abeliano libre en un generador. Esto significa que $\text{Hom}(\mathbb{Z}, A)$ puede identificarse canónicamente con $A$ (donde la identificación envía un homomorfismo a la imagen de $1$ ).
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es el grupo abeliano libre sobre un generador de orden $p$ . Esto significa que $\text{Hom}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, A)$ puede identificarse canónicamente con el subgrupo de todos los elementos de $A$ de orden (dividir) $p$ .
$\mathbb{Q}$ es el colímite de sus subgrupos $\frac{1}{n} \mathbb{Z}$ con las inclusiones obvias, por lo que $\text{Hom}(\mathbb{Q}, A)$ puede identificarse canónicamente con el límite apropiado de copias de $\text{Hom}(\mathbb{Z}, A) \cong A$ . La imagen de $1 \in \mathbb{Q}$ debe ser divisible, por lo que si $A$ no tiene elementos divisibles, entonces $\text{Hom}(\mathbb{Q}, A) = 0$ . Si $A$ es libre de torsión, entonces $\text{Hom}(\mathbb{Q}, A)$ puede identificarse canónicamente con el subgrupo de elementos divisibles de $A$ ya que en este caso la imagen de $1 \in \mathbb{Q}$ especifica de forma única un homomorfismo.
Eso se encarga de todas las combinaciones de $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ pero probablemente valga la pena decir también algunas cosas sobre los homomorfismos en estos grupos.
Un homomorfismo en $\mathbb{Z}$ tiene imagen $n \mathbb{Z}$ para algunos $n \ge 0$ . Si $n > 0$ entonces la imagen es isomorfa a $\mathbb{Z}$ . Cualquier sobreyección a $\mathbb{Z}$ se puede dividir, ya que $1 \in \mathbb{Z}$ puede ser enviado a cualquier elemento de su preimagen, por lo que cualquier elemento de un grupo abeliano $A$ que tiene imagen no nula bajo un homomorfismo $A \to \mathbb{Z}$ debe tener un orden infinito, y el subgrupo que genera debe ser un sumando directo de $A$ y esta condición necesaria es también suficiente.
Un homomorfismo $A \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ necesariamente factores a través de $A/pA$ que es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$ . Por lo tanto, $\text{Hom}(A, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ puede identificarse canónicamente con el espacio vectorial dual $(A/pA)^{\ast}$ en $\mathbb{F}_p$ .
Homomorfismos en $\mathbb{Q}$ parecen algo complicados en general.
Para ejemplos más complicados, supongo que lo más inteligente es escribir secuencias exactas cortas y calcular los grupos Ext. Sin embargo, no sé mucho sobre esto, y no estoy seguro de que los ejemplos con los que estás teniendo problemas merezcan técnicas de este nivel.
