Necesito ayuda en un problema de desafío de mi clase de análisis de esta semana. La pregunta es si la serie
$s = \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n = \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \ldots...$
¿Se pueden reordenar de tal manera que no converjan?
El capítulo 3 de Principios del Análisis Matemático, de Rudin, incluye un ejemplo en el que se puede reordenar la serie para que no converja al mismo valor que $s$ .
Sí, puede. También se puede reordenar para que converja a cualquier número real especificado. Esto es cierto para todas las series condicionalmente convergentes.
Reorganizarlo para divergir a $\infty$ Comienza a sumar términos positivos hasta que el total sea al menos $1$ ; que se lleva a cabo en un solo término, $1$ . A continuación, añada el primer término negativo que aún no se haya incluido; en este caso, sólo obtendrá $1-\frac12$ . Ese es el paso $1$ . Paso $2$ es añadir términos positivos, comenzando donde lo dejaste en el paso $1$ hasta que la suma parcial sea al menos $2$ y luego se añade el primer término negativo no utilizado; se obtiene
$$1-\frac12+\frac13+\frac15+\ldots+\frac1{41}-\frac14\;.$$
En general, en el paso $n$ se añaden términos positivos, empezando por donde se dejó en el paso $n-1$ hasta que la suma parcial sea al menos $n$ y luego añadir el siguiente término negativo.
Este procedimiento puede llevarse a cabo porque la serie $1+\frac13+\frac15+\frac17+\ldots$ diverge, de modo que en el paso $n$ siempre podemos añadir suficientes términos positivos para que la suma parcial llegue a $n$ . Y como la serie reordenada tiene sumas parciales arbitrariamente grandes, debe divergir.
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