Supongamos que $2017$ personas residen en las habitaciones de un $123$ mansión de la habitación. Cada minuto, mientras no estén todas las personas en la misma habitación, alguien pasa de una habitación a otra diferente con al menos el mismo número de personas. Demuestra que al final todas las personas acaban en la misma habitación.
Realmente no tengo ni idea de qué hacer.
Además necesito ayuda para etiquetarlo.
Al principio, algunas salas tendrán más gente que otras. Como $2017$ es un número primo, no hay manera de organizar a las personas en las habitaciones de manera que algunas habitaciones tengan $0$ personas y otras salas tendrán cada una la misma cantidad de personas. Resulta que el número $2017$ es significativo.
Dado que en algunas salas habrá más gente y en otras menos, sabemos que las salas con menos gente alimentarán a las salas con más gente.
Debería ser más fácil de resolver desde aquí.
A partir de $t=0$ dejar $P(j,t)$ sea el número de personas en la sala # $j$ después de $t$ minutos. Deje que $S(t)=(P(1,t),...,P(123,t)).$
Dejemos que $S^*(t)=(s^*(1,t),...,s^*(123,t))$ sea la secuencia $S(t)$ reordenados en un orden no creciente, por ejemplo $s^*(1,t)=\max (P(1,t),...P(123,t)).$
Definir $S(t_1)<^*S(t_2)$ si $S^*(t_1)\ne S^*(t_2),$ y para los menos $n$ tal que $s^*(n,t_1)\ne s^*(n,t_2)$ tenemos $s^*(n,t_1)<s^*(n,t_2).$ En otras palabras, $S(t_1)<^* S(t_2)$ si $S^*(t_1)$ es lexicográficamente menor que $S^*(t_2).$
(1). Obsérvese que si $S(t_1)<^*S(t_1)$ entonces $S(t_1)\ne S(t_2).$ Precaución : $<^*$ puede no ser un orden lineal en el conjunto de todos los posibles $S(t)$ . Podemos tener $S(t_1)\ne S(t_2)$ con $S^*(t_1)=S^*(t_2)$ .
(2). Demuestre que $[S(t_1)<^*S(t_2) \land S(t_2)<^*S(t_3)] \implies S(t_1)<^*S(t_3).$
(3). Demostrar que si $S(t)\neq S(t+1)$ entonces $S(t)<^*S(t+1).$
No podemos tener $S(t)<^*S(t+1)$ por cada $t,$ si no, por (1),(2),y (3), $\{S(t)\}_{t\geq 0}$ sería una secuencia infinita de "estados" distintos, pero sólo hay un número finito de posibles $S(t).$ Por lo tanto, por (3) existe $t$ tal que $S(t)=S(t+1).$
Ahora $S(t)=S(t+1)$ si una habitación contiene a todos los residentes.
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