Atiyah-Macdonald, Ejercicio 5.4

Question

He tenido algunos problemas con el siguiente ejercicio de Atiyah-Macdonald.

Dejemos que $A$ sea un subring de $B$ tal que $B$ es integral sobre $A$ . Sea $\mathfrak{n}$ sea un ideal máximo de $B$ y que $\mathfrak{m}=\mathfrak{n} \cap A$ sea el correspondiente ideal maximal de $A$ . Es $B_{\mathfrak{n}}$ integral sobre $A_{\mathfrak{m}}$ ?

El libro da una pista que sirve de contraejemplo. Consideremos el subring $k[x^{2}-1]$ de $k[x]$ donde $k$ es un campo, y que $\mathfrak{n}=(x-1)$ . Estoy tratando de mostrar que $1/(x+1)$ no podía ser integral sobre $k[x^{2}-1]_{\mathfrak{n}^{c}}$ .

He comprendido por qué esta situación sirve de contraejemplo. Pero estoy esencialmente atascado al tratar de dibujar una contradicción. Una pista o cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Tal vez ya se haya dado cuenta de que $\mathfrak n^c=(x^2-1)$ . Ahora aplica la definición de integralidad y después de despejar los denominadores obtienes $\sum_{i=0}^n a_is_i(x+1)^{n-i}=0$ con $a_i\in A$ , $a_n=1$ y $s_i\in A-\mathfrak n^c$ . Entonces $x+1\mid s_n$ (en $B$ ), por lo que $s_n\in (x+1)B\cap A=(x^2-1)$ una contradicción.