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Sugerencia $\ $ Una propiedad característica de la Ufd es: cada primer ideal $\rm\:P\:$ pueden ser generados por los números primos; equivalentemente, un alojamiento ideal $\ne 0$ contiene un primer $\ne 0.\,$ de Hecho, $\rm\:0\ne p_1\cdots p_n\in P\:\Rightarrow\:$$\rm\: p_i\in P,\:$, por lo que cada generador puede ser sustituido por algún factor primo. A pesar de esta dirección simple es todo lo que necesita aquí, a continuación doy una prueba de al menos trivial de conversar (un famoso teorema de Kaplansky), ya que este hermoso resultado que merece ser mejor conocido.
Teorema $\ $ TFAE integral dominio D
$\rm(1)\ \ \:D\:$ es un UFD $ $ (es decir, una Única Factorización de Dominio)
$\rm(2)\ \ $ $\rm\:D\:$ Cada primer ideal puede ser generado por los números primos.
$\rm(3)\ \ $ $\rm\:D\:$ Cada primer ideal $\ne 0$ contiene un primer $\ne 0.$
Prueba de $\,\ (1 \Rightarrow 2)\ $ Demostró anteriormente. $\rm\,\ (2\Rightarrow 3)\ $ Elegir cualquier primer generador de $\ne 0$ de la ideal.
$(3 \Rightarrow 1)\,\ $ El conjunto $\rm\:S\subseteq D\:$ de los productos de las unidades y distinto de cero de los números primos forma un $ $ saturada monoid, $\ $ es decir $\rm\:S\:$ es cerrado bajo de los productos (claro) y bajo divisores, ya que la única nonunit divisores de un primer producto son subproductos (hasta associates), debido a la unicidad de la factorización de productos primarios. Desde $\rm\:S\:$ es saturada monoid, su complemento $\rm\:\bar S\:$ es un sindicato de primer ideales. Por lo $\rm\:\bar S = \{0\}\:$ (otra cosa es que contiene algunos de los mejores ideales $\rm\:P\ne 0\:$ que contiene un primer $\rm\:0\ne p\in P\subseteq \bar S,\:$ contra $\rm\:p\in S).\:$ por lo tanto todos los $\rm\:0\ne d\in D\:$ se encuentra en $\rm S,\:$ es decir $\rm\:d\:$ es una unidad o producto principal. Por lo tanto $\rm\:D\:$ es un UFD. $\ $ QED
Comentario $\ $ La esencia de la prueba es más claro cuando uno se entera de localización. Entonces ve a partir de los principios generales que el primer ideales en $\rm\bar S\:$ corresponden a los máximos ideales de la localización de la $\rm\:S^{-1} D.\:$
De hecho, uno puede ver esto como un caso especial de cómo Ufd se comporte en la localización. En general la localización de un UFD sigue siendo un UFD. De hecho, estas localizaciones se caracteriza por los conjuntos de números primos que sobrevivir (no se convierten en unidades) en las localizaciones.
Lo contrario también es cierto para atómica dominios, es decir, los dominios donde cero nonunits factor en átomos (irreducibles). Es decir, si $\rm\:D\:$ es atómico de dominio y $\rm\:S\:$ es saturada submonoid de $\rm\:D^*$ generado por los números primos, a continuación, $\rm\: D_S$ UFD $\rm\:\Rightarrow\:D$ UFD $\:\!$ (popularizado por Nagata). Esto produce una mancha de la prueba de $\rm\:D$ UFD $\rm\Rightarrow D[x]$ UFD, viz. $\rm\:S = D^*\:$ es generado por los números primos, por lo que la localización de los rendimientos de la UFD $\rm\:F[x],\:$ $\rm\:F =\:$ fracción de campo de $\rm\:D.\:$ por lo Tanto $\rm\:D[x]\:$ es un UFD, por Nagata. Esto produce un conceptual, a la vista más estructural de la esencia de la materia (frente al tradicional argumento de Gauss Lema).
Que $P$ sea un ideal principal mínima $(a)$. Entonces, desde $a$ es un producto de números primos resulta que $P$ contiene un primer elemento, por lo tanto un primer principal (contiene $a$), así que coinciden.
Pero es fácil ver que un primer principal diferente a cero ideal en una UFD tiene altura uno: si tenemos $0\neq P_1\subseteq P=(p)$, luego tomar un primer elemento $p_1\in P_1$ y $(p_1)\subseteq (p)$ obtenemos $p\mid p_1$ y así $(p_1)=(p)$, que $P_1=P$.
