Pruebas de álgebra básica sobre números enteros - ¿Las desigualdades débiles funcionan pero las estrictas no?

Question

Dejemos que $a, b, \& \, m$ sean números enteros. Demostrar que si $2a + 3b \geq 12m + 1$ entonces $a \geq 3m + 1$ o $b \geq 2m + 1$ .

Mi intento: No concibo apaciblemente cómo se puede concebir, a partir de una desigualdad en el antecedente, las dos desigualdades en el consecuente. Así que una prueba por contraposición puede ser más fácil. El contrapositivo es: $\text{If } \color{Green}{a < 3m + 1} \; \& \; \color{#0073CF}{b < 2m + 1}, \text{ then } 2a + 3b < 12m + 1 \tag{*}.$

Desde $(*)$ , $\color{Green}{2a} + \color{#0073CF}{3b} < \color{Green}{6m + 2} \; + \;\color{#0073CF}{6m + 3} = 12m +5$ . Pero esto no demuestra $(*)$ .

Solución dada: Supongamos que $a < 3m+1$ y $b < 2m+1.$ Ya que a y b son números enteros, $a 3m$ y $b 2m.$ Por lo tanto, $2a + 3b 2(3m) + 3(2m) = 12m < 12m+ 1,$ como se desee. $\blacksquare$

¿Qué ha fallado en mi intento? Entiendo la solución dada, pero persistí con el verde y el azul más natural y directo, en lugar de desviarme a las desigualdades débiles. ¿No deberían funcionar ambas soluciones?

Fuente: Problema 4.19 en P102 (relacionado con P90, Resultado 4.8) de Pruebas matemáticas, 2ª ed. por Chartrand et al.

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$\large{\text{Supplement to Cameron Buie and pritam's Answers :}}$

¿Qué lecciones primordiales y católicas se pueden extrapolar de este ejemplo para generalizar las desigualdades?

Además, para eludir el problema que se plantea aquí (es decir, la pérdida de información de las desigualdades más débiles), ¿debo empezar siempre por la desigualdad más estricta? Si es así, ¿debería convertir siempre cualquier desigualdad débil en la desigualdad estricta equivalente?

Por ejemplo, defina $r \in \mathbb{R} $ y $n \in \mathbb{Z}$ y $g(...) \neq h(...)$ . Entonces $ f(r) < h(r) \require{enclose} \enclose{updiagonalstrike}{\iff} f(r) \leq g(r).$
Mais $ f(n) < h(n) \text{ MAY OR MAY NOT }\iff f(n) \leq g(n).$

Answer 1

Como se me ha pedido, voy a exponer mi comentario, pero lo haré en forma de respuesta, ya que es bastante extenso.

He observado que la prueba dada se desvía a más fuerte desigualdades, que permiten que la prueba funcione. Con esto quiero decir, por ejemplo, que si $a$ y $m$ son números enteros, entonces $a<3m+1$ si y sólo si $a\le 3m.$ No son equivalentes entre los números reales (toma $m=1$ y $a=3.5,$ por ejemplo), pero la desigualdad $a\le 3m$ implica la desigualdad $a<3m+1$ , lo que significa $a\le 3m$ es el más fuerte de las dos desigualdades, a pesar de no ser estrictas.

¿Y si multiplicamos ambas desigualdades por $2$ ? Entonces estamos tratando con $2a\le 6m$ y $2a<6m+2.$ Siguen siendo equivalentes si sabemos que $a,m$ son enteros, pero no es tan obvio por qué, ya que uno de ellos es engañoso. El problema es la divisibilidad. Ya sabemos que no hay enteros en el intervalo $(6m+1,6m+2)$ desde $m$ es un número entero, lo que nos permite reescribir $2a<6m+2$ de manera equivalente como $2a\le 6m+1$ . Desde $a$ y $m$ son enteros, sin embargo, tenemos que $2a$ es par y $6m+1=2(3m)+1$ es impar, así que no podemos tener igualdad. Por lo tanto, lo reescribimos de forma equivalente como $2a<6m+1,$ que a su vez produce $2m\le 6m.$

Del mismo modo, tomar $b,m$ para ser enteros, $3b<6m+3$ rinde $3b\le 6m+2;$ desde $3$ divide $3b$ y no divide $6m+2=3(2m)+2,$ entonces tenemos $3b<6m+2,$ que a su vez produce $3b\le 6m+1;$ pero $3$ no divide $6m+1=3(2m)+1,$ por lo que se obtiene $3b<6m+1,$ que a su vez produce $3b\le 6m.$

¿Por qué las formas reforzadas de las desigualdades funcionaron y las otras no? Pues sencillamente porque las versiones "más débiles" no eran lo suficientemente precisas: sugerían más margen de maniobra del que realmente había, de modo que una vez "sumadas las desigualdades" teníamos una desigualdad demasiado débil, que no implicaba claramente nuestro resultado deseado. De hecho, como has visto, una vez que ponemos $2a<6m+2$ y $3b<6m+3$ juntos para conseguir $2a+3b<12m+5,$ no tenemos suerte. Esa almohadilla extra en las desigualdades estrictas nos dejó con un $5$ de la que no podemos deshacernos: los argumentos de divisibilidad simple no nos permitirán eliminarla de la forma en que lo hicimos anteriormente, porque no está claro qué números deben dividir $2a+3b$ . Sin embargo, con las versiones "más estrictas" de las desigualdades, simplemente obtenemos $2a+3b\le12m,$ lo que permite llegar fácilmente a la conclusión deseada.

Answer 2

Lo que falló en tu solución fue que no utilizaste el hecho de que $a$ , $b$ y $m$ son números enteros. Si fueran números reales la desigualdad $2a+3b\ge12m+1$ no implicaría la conclusión dada.

Por ejemplo, si $m=1$ , $a=3.5$ , $b= 2.5$ tenemos $2\times 3.5 + 3\times 2.5 = 7+7.5=14.5 \ge 13$ .

La solución dada utiliza el hecho de que los números son enteros - el siguiente entero hacia abajo desde $a$ es $a-1$ y no puedes tener $a-\frac 12$ .

Answer 3

Intentaré explicar por qué su intento no funciona. A partir de sus suposiciones $a<3m+1$ & $b<2m+1$ puedes escribir $$a=3m+1-x\quad\&\quad b=2m+1-y$$ donde $x,y>0$ . Entonces, $$2a+3b=12m+5-(2x+3y)$$ Ahora tenga en cuenta que, si no utiliza el hecho de que $x,y$ son enteros, entonces sólo se obtiene $2x+3y>0$ que es lo que has hecho. Si utilizas el hecho de que $x,y$ son enteros, entonces obtendrá $$2x+3y\geq2\cdot 1+3\cdot 1=5$$ así que $2a+3b\leq 12m+5-5=12m$ .