Me gustaría preguntar si la siguiente definición de la conexión de morfismos en el largo de la secuencia exacta en la homología de un par de $(X,A)$ es correcta.
En primer lugar, definir la relación de los ciclos y los límites a través de $$\begin{aligned} Z_n(X,A) & = \left\{\gamma\in S_n(X)\; :\; \partial _n \gamma \in S_{n-1}(A) \right\} \\ B_n(X,A) & = B_n(X)+S_n(A) \end{aligned}$$ Por el tercer teorema de isomorfismo existe un isomorfismo $$i:H(X,A)\cong Z(X,A)/B(X,A)$$ Ahora inicio de un pariente ciclo de $z\in Z_n(X,A)$ y tome su límite de $\partial z$, que es por definición un elemento en $S_{n-1}(A)$. Este elemento es, además, un ciclo en el $Z_{n-1}(A)$ desde $\partial ^2=0$. Así que tenemos un mapa de $Z_n(X,A)\rightarrow Z_{n-1}(A)$. La conexión de morfismos se define por $$s:H_n(X,A)\rightarrow H_{n-1}(A),\;\; i([z])\mapsto [\partial z]$$ donde la izquierda clase de equivalencia es un elemento de $Z(X,A)/B(X,A)$ representado por la relación del ciclo de $z\in Z_n(X,A)$, e $i([z])$ es su isomorfo imagen en $H_n(X,A)$.
Es esta construcción correcta?
