Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial sea un campo vectorial de coordenadas

Question

Dejemos que $X$ sea un campo vectorial en una variedad $M$ . ¿Existe una condición necesaria y suficiente para $X$ para que sea localmente igual al vector de coordenadas $\partial_j$ para algún sistema de coordenadas?

Para cualquier métrica de Riemann sobre $M$ las formas 1 $dx_j$ correspondientes a los campos vectoriales de coordenadas son formas cerradas. Así, una condición necesaria es que la forma 1 correspondiente a $X$ bajo cualquier métrica debe ser cerrada. ¿Es esto también suficiente? Si no, ¿cuál es la condición necesaria y suficiente?

Answer 1

Para cualquier campo vectorial $X$ en un colector liso $M$ para cualquier punto $p\in M$ (donde $X_p \neq 0$ como señala Nils más adelante), se puede encontrar (construir) un sistema de coordenadas $x^i$ en una zona de $p$ para que en ese barrio $\partial_1 = X$ . Ver Warner, Fundamentos de las Múltiples Diferenciables y los Grupos de Lie, Capítulo 1.