La linealidad es un concepto omnipresente en las matemáticas; sin embargo, cada rama de las matemáticas parece tener su propia definición de lo que es un mapa lineal (función, funcional, functor, transformación, forma, operador o lo que sea). Estas diferentes definiciones pueden llevar a la confusión, especialmente cuando la gente aplica definiciones conflictivas de linealidad al mismo objeto matemático (sólo buscar en este sitio web para entender lo que quiero decir).
Uno de mis ejemplos favoritos con potencial de conflicto es el logaritmo natural $\ln : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ que la mayoría de la gente, como pude aprender durante las acaloradas disputas, no sólo aquí pero también con colegas de mi campo, consideran que es claramente no lineal, aunque cumpla plenamente con la definición de un mapa lineal del espacio vectorial $\mathbb{R}_{>0}$ al espacio vectorial $\mathbb{R}$ (véase. Definición 4 abajo). Un conflicto similar surge análogamente para la función exponencial $\exp :\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}$ .
No quiero iniciar otra discusión aquí, sobre lo que el derecho y que la equivocación ¡definición de linealidad es! Más bien, ...
... Me gustaría recopilar una lista de definiciones existentes, para tener una mejor visión de los diferentes usos del término "linealidad" a través de las diferentes ramas de las matemáticas y los niveles de educación.
Empecemos con los cuatro siguientes, que ciertamente están lejos de constituir una lista completa. ¿Qué hay de las formas bilineales o multilineales, los morfismos lineales y los funtores lineales en la teoría de categorías, la métrica lineal u otros conceptos de linealidad? Estoy deseando ver sus respuestas.
En la escuela me enseñaron que
Definición 1: Una función $f$ es lineal si es de la forma $f(x) = ax + b$ .
Más tarde me enteré de que $f(x) = ax + b$ es afín, en lugar de lineal, porque
Definición 2: Una función $f$ es lineal si es de la forma $f(x) = ax$ .
Del análisis real y de la teoría de sistemas, sé lo siguiente
Definición 3: Un mapa $f$ es lineal si
- $f(x + y) = f(x) + f(y)$
- $f(a \cdot x) = a \cdot f(x)$ .
Esta definición también se aplica al valor esperado en las estadísticas, como
- $\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}(X) + \mathrm{E}(Y)$
- $\mathrm{E}(a \cdot X) = a \cdot \mathrm{E}(X)$ .
En un curso de álgebra lineal, aprendí por primera vez que no debemos olvidar tener en cuenta que las operaciones vectoriales del dominio y el codominio de un mapa $f$ puede ser diferente. De hecho, si $(V, \oplus, \odot)$ y $(W, \boxplus, \boxdot)$ son dos $\mathbb{K}$ -espacios vectoriales, entonces
Definición 4: Un mapa $f : V \to W$ es lineal si
- $f(x \oplus y) = f(x) \boxplus f(y)$
- $f(a \odot x) = a \boxdot f(x)$ .
Obsérvese que he utilizado deliberadamente símbolos distintos para las operaciones en ambos espacios vectoriales, para enfatizar la diferencia entre esta definición y la definición 3.
Corrígeme si me equivoco, pero esta definición debería aplicarse también a los mapas entre dos módulos.
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En el análisis funcional tenemos operadores lineales y en la investigación operativa tenemos la programación lineal (entera).
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Intuitivamente, la descripción básica de la linealidad es "los efectos son proporcionales a las causas", con el principio de superposición como corolario: "el efecto de una suma de causas es la suma de los efectos". Se trata de un concepto muy poderoso. A veces se confunde afinidad con linealidad porque un fenómeno afín es lineal con respecto a un punto de referencia ( $(ax+b)-(ax_0+b)=a(x-x_0)$ ) y la constante añadida se considera no esencial.