Prueba fundamental de Taylor ' Teorema de s usando notaciones poco o

Question

Hay una fundamental prueba de Taylor teorema usando poco-o notación?

Asumo $f:E\rightarrow F$ como una asignación entre espacios de Banach y escribir $(h^i)$ $(h,\ldots,h)$ ($i$ veces iterada).

La definición de la derivada da $$f(x+h)=f(x)+f'(x)(h)+o(\|h\|).$$ Applying this to $f'$ I get $$f'(x+h)=f'(x)+f''(x)(h)+o(\|h\|)$$ where $o(\|h\|)$ has to be interpreted in the context of the corresponding ambient spaces, i.e. $E$ in the first line and $L(E,F)$ in the second line. Applying the second line to $h$ I get $$f'(x+h)(h)=f'(x)(h)+f''(x)(h^2)+o(\|h\|^2)$$ where the right hand looks at least similar to the right hand side of the equation I want to derive, namely $$f(x+h)=f(x)+f'(x)(h)+\frac{f''(x)(h^2)}{2}+o(\|h\|^2).$$ I could make it even more similar by writing $$f'(x+\frac{h}{2})(h)=f'(x)(h)+\frac{f''(x)(h^2)}{2}+o(\|h\|^2)$$ pero no sé cómo proceder a partir de ahí...

Edit: lo Siento, lo escribí en mi último (eliminado) editar no se aplica, no entendí el texto y el autor dirigió otra fórmula con su frase!

Answer 1

He encontrado una prueba en cálculo de diferencial de H Cartan. No siga exactamente la ruta que trató anteriormente, pero todavía es bastante fundamental, es decir, esencialmente sólo utiliza el teorema del valor medio.