El decimonoveno problema de Hilbert: ¿Por qué nos importa?

Question

El decimonoveno problema de Hilbert pregunta:

¿Son siempre necesariamente analíticas las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones?

Se demostró que esto era cierto (gracias a los trabajos de Sergei Bernstein, Ennio de Giorgi, John Nash, entre otros).

Probablemente mi pregunta se deba sobre todo a mis conocimientos elementales del tema, pero me pregunto qué ganamos exactamente con este resultado, en términos lo más cercanos posible a los de Hilbert. Y por lo que deduzco, es bueno que la respuesta a la pregunta de Hilbert sea afirmativa, ¿correcto?

Answer 1

Los principios variacionales son increíblemente importantes en física. Véase el libro "Variational Principles in Physics". Por ejemplo, la física de partículas suele realizarse con un "Lagrangiano".

Newton empezó con ecuaciones de movimiento como F=ma en lugar de cálculos basados en energías o acciones. Me han dicho que nuestra comprensión moderna de la energía surgió 100 años después de Newton. Los métodos variacionales serían posteriores aún. Los métodos más modernos no se enseñan en las clases introductorias de física, por lo que supongo que es posible formarse como matemático sin apreciar su uso en física.

Supongo que Hilbert incluyó el problema por su utilidad en física teórica. Cuando Hilbert lo propuso, hacia 1900, los principios variacionales ya eran muy importantes en la mecánica clásica. A medida que se desarrollaron la relatividad general y la mecánica cuántica, siguieron utilizándose. También se utilizan en electricidad y magnetismo, pero no estoy seguro de cuándo empezó ese uso.