Cómo encontrar el límite de $\sin(f(x))$ dada la gráfica de $f(x)$

Question

La pregunta completa está cargada aquí: http://imgur.com/EZekb

Básicamente, dado el gráfico mostrado en la imagen de arriba, pensé que el límite de $\sin(f(x))$ sería $\sin(2)$ ya que el límite de sólo $f(x)$ es $2$ . Sin embargo, mi profesor dice que es $\sin(3)$ , ya que $f(x) = 3$ en ese punto. ¿Alguien puede explicar por qué es uno y no el otro?

Además, si pudieras proporcionar una fuente, sería estupendo, para poder mostrar a mi profesor si estoy en lo cierto.

Gracias.

Answer 1

Tienes razón, tu profesor no. Desde $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=2$ tenemos $$\lim\limits_{x\to 1}\sin(f(x))=\sin\left(\lim\limits_{x\to 1}f(x)\right)=\sin(2)$$ ya que en general tenemos $\lim\limits_{x\to a}g(f(x))=g(\lim\limits_{x\to a}f(x))$ siempre que $g$ es continua y $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existe.