Soluciones de $X^2+2=Y^3$ en $\mathbb{Z}[i]$

Question

El matemático James T. Cross, en su trabajo "Triples pitagóricos primitivos de números enteros gaussianos", mostró un método para generar todos los triples pitagóricos en $\mathbb{Z}[i]$ . Inspirado en su trabajo, quiero encontrar todas las soluciones enteras gaussianas de la ecuación $X^2+2=Y^3$ . En $\mathbb{Z}$ la única solución es $x=5,y=3$ o $x=-5,y=3$ . Una solución trivial en $\mathbb{Z}[i]$ es $x=i$ , $y=1$ . Mi pregunta es:

¿Algún otro matemático ha resuelto este problema antes?

Answer 1

Me disculpo por intercambiar $X$ y $Y$ pero eso me hace sentir más cómodo. Sea como fuere, esto es una cosa elegante, y es un ejemplo de cómo las cosas que son relativamente simples en el caso cuadrático de repente se vuelven complicadas o incluso intratables en el siguiente caso a lo largo del camino.

Estás tratando con la curva elíptica $Y^2=X^3-2$ y pidiendo $\Bbb Z[i]$ -puntos integrales. La pregunta correspondiente a $\Bbb Z$ -está cubierto por el Teorema de Siegel, que dice que cualquier curva elíptica sobre $\Bbb Q$ sólo tiene un número finito de $\Bbb Z$ -puntos. Este es un campo que sólo conozco por rumores, y seguramente habrá gente en MSE que conozca el campo al dedillo, por mucho que se pueda conocer. Supongo que Siegel puede ser (probablemente ha sido) generalizado a este caso también. Esto es seguro: el $\Bbb Q(i)$ -puntos de la curva forman un grupo conmutativo finitamente generado, es el teorema de Mordell-Weil. Encontrar los generadores es posible con métodos bastante avanzados, pero no suele ser fácil.

Así que tu tarea es ir a la siempre fiable Wikipedia y buscar curvas elípticas, el Teorema de Siegel (sobre curvas elípticas) y el Teorema de Mordell-Weil.

Answer 2

No veo la manera de trabajar directamente en $\Bbb Z+\Bbb Z[i]$ . Pero la ecuación en este anillo de enteros gaussianos es equivalente al siguiente sistema de cuatro incógnitas en $\Bbb Z$ $$\begin{cases}x^2-y^2+2=z^3-3zw^2\\2xy=3z^2w-w^3\end{cases}$$ Esto nos permite encontrar algunos conjuntos infinitos de soluciones. Haciendo, por ejemplo, $z=w$ tenemos $$x^2-y^2+2=-2z^3\\2xy=2z^3$$ por lo tanto $$x^2-y^2+2+2xy=0\qquad (1)$$ Tenemos en $(1)$ las soluciones particulares $(x,y)=(\pm1,\mp1),(\pm1,\mp3),(\pm7,\mp3)$

A partir de esto se tiene por $X=x+yi$ y $Y=z+wi$ las soluciones de la ecuación propuesta en enteros gaussianos $$(x,y,z,w)=(\pm1,\mp1,t,t),(\pm1,\mp3,t,t),(\pm7,\mp3,t,t)$$ donde t es un entero racional arbitrario.