Soy solo curioso en ya hay infinitamente muchos palíndromos decir $p_1$ $p_2$ satisfaciendo:
$p_1^2+p_2^2$ es un cuadrado perfecto con $\gcd(p_1,p_2)=1$.
Creo que son algunos, pero ¿hay infinitamente muchos de ellos?
Gracias por tu ayuda.
Respuestas
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Sí, hay infinitamente muchos. Para cualquier $n\in\mathbb{N}$ vamos $$\begin{align} a_n&=3+4\times10^{n}+7\times10^{2n}+4\times10^{3n}+3\times10^{4n}\\ b_n&=4+2\times10^{n}+8\times10^{2n}+2\times10^{3n}+4\times10^{4n}\\ c_n&=5+4\times10^{n}+11\times10^{2n}+4\times10^{3n}+5\times10^{4n} \end{align}$$ A continuación, $a_n$ $b_n$ son palíndromos y $$ a_n^2+b_n^2=c_n^2. $$ Por otra parte, $\gcd(a_n,b_n)=1$. Vamos $$\begin{align} A_n&=7+8\times10^{n}+8\times10^{2n}+8\times10^{3n}\\ B_n&=-\frac12\bigl(10+21\times10^{n}+22\times10^{2n}+12\times10^{3n}\bigr) \end{align}$$ Entonces $$ A_n\,a_n+B_n\,b_n=1. $$
He encontrado esta identidad haciendo una búsqueda por fuerza bruta. Cualquier palíndromo con un número par de dígitos es divisible por $11$, por lo que uno (o ambos) de la $p_i$ debe tener un número impar de dígitos. He buscado $p_1$ $2\,k+1$ dígitos, $1\le j\le 7$. Estos son los resultados. También se incluyen algunos ejemplos de $p_1$ $17$ dígitos. $$ \begin{array}{ll} 313 & 48984 \\ 464 & 777 \\ 25652 & 55755 \\ 34743 & 42824 \\ 52625 & 80808 \\ 80308 & 5578755 \\ 2152512 & 575575 \\ 2532352 & 5853585 \\ 5679765 & 23711732 \\ 304070403 & 402080204 \\ 341484143 & 420282024 \\ 345696543 & 422282224 \\ 355949553 & 690019910096 \\ 359575953 & 401141104 \\ 27280108272 & 55873637855 \\ 3004007004003 & 4002008002004 \\ 3044529254403 & 4022208022204 \\ 3410048400143 & 4200028200024 \\ 3414249424143 & 4202028202024 \\ 3450569650543 & 4224448444224 \\ 6381414141836 & 778233332877 \\ 395734505437593 & 426982282289624 \\ 404990565099404 & 747709181907747 \\ 461781161187164 & 778676101676877 \\ 30004000700040003 & 40002000800020004 \\ 30040410801404003 & 40020200800202004 \\ 30044412921444003 & 40022200800222004 \\ 30081842624818003 & 40041401210414004 \\ 30401040804010403 & 40200020802000204 \\ 30405060906050403 & 40202020802020204 \\ 32682698889628623 & 46020004840002064 \\ 34100004840000143 & 42000002820000024 \\ 34104204940240143 & 42002002820020024 \\ 34140434943404143 & 42024404840442024 \\ 34505056965050543 & 42244646864644224 \\ \end{array} $$
user8269
Puntos
46
Siguiendo la sugerencia de Lucian, encontré una lista de ellos en http://www.worldofnumbers.com/pythago.htm pero muchos de los allí enumerados no pasan la prueba de primalidad relativa. Pero no todos: $313^2+48984^2=48985^2$, $34743^2+42824^2=55145^2$, probablemente unos cuantos más que no a prueba de primalidad relativa.
