Ejemplo de un espacio topológico que no es primera-contable

Question

De acuerdo a Munkres' Topología:

Definición. Un espacio de $X$ se dice que tiene una contables base en $x$ si hay una contables de la colección de $\mathscr B$ de los barrios de $x$ de manera tal que cada barrio de $x$ contiene al menos uno de los elementos de $\mathscr B$. Un espacio que tiene una contables de base en cada uno de sus puntos que se dice ser la primera contables.

Teniendo en cuenta esto, supongo que cualquier espacio de $X$ es de primera contables. Si hay cualquier espacio de $X$ que no es de primera contables, por favor, comuníquelo con una simple explicación, por lo que puedo entender mejor este concepto.

Muchas gracias.

Answer 1

Deje $\tau=\{\varnothing\}\cup\{\Bbb R\setminus F:F\text{ is finite}\}$; esta es una topología en $\Bbb R$, llama la cofinite topología. (Un cofinite topología se puede definir en cualquier conjunto.) Debido a $\Bbb R$ es incontable, $\tau$ no es la primera contables.

Para ver esto, vamos a $x\in\Bbb R$, y supongamos que $\mathscr{B}$ es una contables de la familia de abrir nbhds de $x$, decir $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\Bbb N\}$. Para cada una de las $n\in\Bbb N$ no es, por definición, de un número finito de $F_n\subseteq\Bbb R$ tal que $B_n=\Bbb R\setminus F_n$. Vamos $C=\{x\}\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n$; $C$ es la unión de countably muchos finito de conjuntos, por lo $C$ es contable. $\Bbb R$ es incontable, de modo que podemos elegir un punto de $y\in\Bbb R\setminus C$. Deje $U=\Bbb R\setminus\{y\}$. Por definición, $U$ está abierto, y claramente $x\in U$. Sin embargo, para cualquier $n\in\Bbb N$ tenemos $y\in B_n\setminus U$, lo $B_n\nsubseteq U$, y por lo tanto $\mathscr{B}$ no es una base local en $x$. Desde $\mathscr{B}$ cualquier contables de la familia de abrir nbhds de $x$, esto muestra que $\langle\Bbb R,\tau\rangle$ no es la primera contables en $x$. (Y desde $x$ fue un punto arbitrario de $\Bbb R$, de hecho, hemos demostrado que $\langle\Bbb R,\tau\rangle$ está en ninguna parte primera contables: no hay punto tiene una contables de base local.

Answer 2

Hay un montón de contraejemplos:

• El más simple es el co-contables de la topología en una multitud innumerable.

• Algo más complicado es el largo de la línea, o (lo que es esencialmente el mismo que para nuestros fines) el ordinal $\omega_1+1$ con el fin de topología.

• De la forma más natural para muchos propósitos, considere el espacio de todos los ultrafilters en $\mathbb{N}$.

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Una explicación detallada de los ejemplo más sencillo:

"Cocountable" sólo significa "el complemento es contable."

Corregir algunos multitud innumerable $X$ - por ejemplo, $X=\mathbb{R}$. El abrir establece en el cocountable topología son los que son (ya sea el conjunto vacío o) todas pero countably mucho de $X$. Por ejemplo, el irrationals forma un conjunto abierto en el cocountable la topología en $\mathbb{R}$.

Ahora, fijar un punto de $x\in X$, y supongamos que yo tenía una contables barrio de base $\{N_i: i\in\mathbb{N}\}$$x$. Es un buen ejercicio para demostrar que, desde cada una de las $N_i$ es cocountable, la intersección $N$ de todas las $N_i$ es de nuevo cocountable. Pero ahora eliminar un punto (distinto de $x$) $N$ para obtener una menor, pero todavía cocountable, establezca $M$. Claramente $M\not\supseteq N_i$ cualquier $i$, pero $M$ es una vecindad de a $x$.