Calcula

Question

Permita que el$\mathbb{Z}_{4}$% como un$\mathbb{Z}_{8}$ módulo. ¿Cómo puedo probar esto?

$Tor_{n}^{\mathbb{Z}_{8}}(\mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z}_{4})=\mathbb{Z}_{4}$? Súplicas ver esto

Answer 1

$\def\ZZ{\mathbb Z}$La primera cosa a hacer es construir una resolución de $\ZZ_4$. Es evidente que existe una mapa de $p:\ZZ_8\to\ZZ_4$ asignación de la clase de) $1$$1$, y el kernel es generado por $4$. Claramente, el kernel es isomorfo a $\ZZ_2$ $\ZZ_8$- módulo, de modo que tenemos una breve secuencia exacta de $\ZZ_8$-módulos $$0\to\ZZ_2\xrightarrow{q}\ZZ_8\xrightarrow{p}\ZZ_4\to0$$ with $q$ mapping $1$ to $4$.

De manera similar, podemos encontrar una breve secuencia exacta $$0\to\ZZ_4\xrightarrow{r}\ZZ_8\xrightarrow{s}\ZZ_2\to0$$ with $s$ mapping $1$ to $1$ and $r$ mapping $1$ to $2$.

Ahora, considere el diagrama de $$\cdots \ZZ_8\xrightarrow{r\circ p}\ZZ_8\xrightarrow{q\circ s}\ZZ_8\xrightarrow{r\circ p}\ZZ_8\xrightarrow{q\circ s}\ZZ_8\xrightarrow{p}\ZZ_4$$

• Demostrar que esta es una tarea compleja, y que es exacta. Dado que los módulos (aparte de $\ZZ_4$) $\ZZ_8$- módulos, esto es, a continuación, una resolución proyectiva de $\ZZ_4$.

• Ahora aplique el functor $\ZZ_4\otimes_{\ZZ_8}(\mathord-)$ a lo complejo, y calcular la homología.

• Se regocijan.