Criterios para intercambiar el orden de integración y suma

Question

Tengo una función (un potencial a partir de un potencial electrostático mediante una serie de Fourier) en forma de

$$V(x, y, z)=\sum_n\sum_m \ a(x, n, m) b(y, n) c(z, m) \int\int f(u, v) d(u,n) e(v,m) du\, dv$$

Aquí funciones $a(), b(), c(), d(), e()$ son conocidos y se comportan bien (en su mayoría términos de Fourier, es decir, senos o expociales suaves). $f()$ es desconocido.

Sin duda puedo trasladar todos los términos a la integral:

$$V(x, y, z)=\sum_n\sum_m \ \int\int a(x, n, m) b(y, n) c(z, m) f(u, v) d(u,n) e(v,m) du\, dv$$

Este formulario aún no me resulta útil. Quiero cambiarlo para que esté en el formulario $$V(x, y, z) = \int\int f(u, v) w(u,v) du\, dv $$ donde todas las sumas se combinan en una función de peso $w(u, v)$ con toda la suciedad de la suma escondida dentro. (Mi objetivo final es evaluar esta función de peso numéricamente).

Estoy seguro de que es posible... es un método que se utiliza para calcular funciones de Greens en diversas aplicaciones. Pero en mis pasos de derivación, llego al paso donde la suma y la integración $\sum\sum\int\int$ debe cambiarse por $\int\int\sum\sum$ y no consigo entender cuándo esto es "legal" y cuándo no. Es un truco que muchas derivaciones parecen dar por supuesto: se limitan a decir "intercambiamos el orden" en papeles como este y conferencias como esta. O encuentro teoría densa (no práctica) sobre la convergencia en polos complejos con cortes y magulladuras finitos, el truco de magia de Fubini el Grande, la teoría de superMeasuringTape, yadda yadda, incluso aquí.

Así que entiendo que hay una gran cantidad de matemáticas teóricas de lujo sobre esta cuestión, y entiendo que algunos físicos perezosos simplemente intercambian el orden y ni siquiera tratan de justificarlo. Espero que alguien pueda darme alguna intermedio equilibrio entre estos extremos, algo que diga cuándo el canje está justificado y cuándo no, suponiendo términos realmente suaves, constantemente diferenciables, como los que tengo en mi primera ecuación de arriba.

¿Es el intercambio siempre seguro para mi ejemplo anterior, para cualquier función suave $a() b() c() d()$ y $e()$ ?

Gracias.

Answer 1

El teorema de Fubini (o de Tonelli) es exactamente lo que necesitas, creo, y me molesta un poco ver que lo metes en el mismo saco que un montón de otros nombres burlones para ideas matemáticas importantes. Normalmente se enuncia como un teorema sobre el intercambio de integrales con respecto a medidas, pero para los fines actuales basta con saber que tanto la integración de Riemann como la suma pueden expresarse como integración con respecto a medidas.

Así que estos teoremas dicen que una suma y una integral $\sum_n \int f(n,x) dx$ (o más generalmente, varios de cada uno) pueden intercambiarse (o reordenarse) en cualquiera de los siguientes casos:

1. $f \ge 0$ o
2. $\sum_n \int |f(n,x)| dx < \infty$ (y por el caso 1, la condición $\int \sum_n |f(n,x)|dx < \infty$ también es equivalente).

La suavidad no es suficiente para que esto se cumpla, esencialmente porque las funciones suaves pueden crecer rápidamente en el infinito. (Así que tendrás que averiguar qué tienen tus funciones para que esto funcione.