¿He demostrado que el enunciado A implica la declaración B?

Question

A continuación se presentan dos hechas las declaraciones que voy a intentar demostrar que Una implica B:

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Nota: la discusión en los comentarios estaba relacionado con cuando tuve Una declaración como:

$∀x,y,z∈ℤ,x<y∧z≠x∧z≠y⇒0<f(x)<f(y)<f(z)$

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Deje $f:ℤ→ℤ$

Declaración de $A$

$∀x,y,z∈ℤ,x<y∧z≠x∧z≠y⇒0<f(x)∧0<f(y)∧0<f(z)$

Declaración de $B$

$∀a,b,c∈ℤ,a<b<c⇒f(a)+f(b)+f(c)>0$

Demostrar $A⇒B$

Suponga $A$, Vamos a $a,b,c∈ℤ$ y asumen $a<b<c$

Desde $a<b∧c≠a∧c≠b$, por hipótesis, esto implica

$0<f(a)<f(b)<f(c)⇒f(a)+f(b)+f(c)>0$

Probablemente hay formas más fáciles de probar esto, pero solo quiero asegurarme de que entiendo cómo implicación funciona y todo ese jazz. Es esto suficiente para demostrar $A$ implica $B$?

Answer 1

La prueba de croquis no acaba de funcionar, dependiendo asumiendo $a<b<c$, y no se puede hacer eso sin pérdida de generalidad. En particular, si dos de $a, b, c$ pasan a ser igual , entonces no hay manera que usted puede reorganizar para lograr la $a<b<c$. (Como se señaló en los comentarios, esto no funciona; yo había malinterpretado $B$).

Lo que yo haría en su lugar se prueban $\forall x:0 < f(x)$ invocando $A$$y=x+1$$z=x+2$. Es de esperar que su teoría subyacente dice bastante acerca de los números enteros para permitir que usted para probar la hipótesis en $A$ para el caso concreto, y, a continuación, tirar de los dos últimos tercios de la conclusión.

Entonces todo lo que usted necesita saber es que la suma de tres números positivos es positivo.