Cómo resolver este límite: $\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}x$ ?

Question

Traté de evaluar $$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}x$$ pero todos mis esfuerzos fueron en vano. La regla de L'Hospital se vuelve muy complicada.

Answer 1

Escriba, para $x > 0$ , $$\begin{align*} \frac{(1+x)^{1/x}-e}x &= \frac{e}{x}\left( e^{\large\frac{1}{x}\ln(1+x)-1}-1 \right) \\ &=\frac{e}{x}\left( e^{\large\frac{x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x}-1}-1 \right) \\ &=\frac{e}{x}\left( e^{\large-\frac{x}{2}+o(x)}-1 \right) \\ &=\frac{e}{x}\left( 1-\frac{x}{2}+o(x)-1 \right) \\ &=e\left( -\frac{1}{2}+o(1) \right) \xrightarrow[x\to0^+]{}-\frac{e}{2} \end{align*} $$

Answer 2

Quieres encontrar $L = \lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}x$ .

Dejemos que $f(x) = (1+x)^{1/x}$ . Desde $\lim_{x\to0} f(x) = e$ , por la definición de derivada, $L = f'(0)$ .

Aplicación de la regla de la cadena $(f(g(x))' = g'(x)f'(g(x))$ en la forma $(e^{g(x)})' = g'(x) e^{g(x)}$ con mucho cuidado,

$\begin{align} f'(x) &= ((1+x)^{1/x})'\\ &= (\exp((1/x)\ln(1+x))'\\ &= ((1/x)\ln(1+x))'(\exp((1/x)\ln(1+x))\quad\quad( (e^x)' = e^x)\\ &= ((1/x)/(1+x)-\ln(1+x)/(x^2))'(1+x)^{1/x}\quad(\text{Product rule})\\ &= \left(\dfrac{1}{x(1+x)}-\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\right)(1+x)^{1/x}\\ &= \left(\dfrac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\right)(1+x)^{1/x}\\ \end{align} $

Desde $\lim_{x \to 0+} (1+x)^{1/x} = e$ , sólo tenemos que evaluar el término de la izquierda como $x \to 0+$ . Para ello, rige la regla de L'Hospital.

$\begin{align} \lim_{x \to 0+} \dfrac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)} &=\lim_{x \to 0+}\dfrac{1-((1+x)/(1+x)+\ln(1+x)}{2x(1+x)+x^2}\\ &=\lim_{x \to 0+}\dfrac{-\ln(1+x)}{2x+x^2}\\ &=\lim_{x \to 0+}\dfrac{-1/(1+x)}{2+2x}\quad\quad\text{Applying Hoppy again}\\ &= -\dfrac{1}{2} \end{align} $

Así que $f'(0) = -\dfrac{e}{2}$ .

Answer 3

Por definición, $(1+x)^{1/x}=\exp(\frac1x\ln(1+x))$ . Utilizando las series de Taylor $$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+O(x^3) $$ $$\exp(x)=1+x+\frac12x^2+O(x^3)$$ encontramos $$\begin{align}(1+x)^{1/x}-e&=e\cdot(\exp(\frac1x\ln(1+x)-1)-1)\\&=e\cdot(\exp(-1+1-\frac12x+O(x^2))-1) \\&= e\cdot(\exp(-\frac12x)-1+O(x^2))\end{align}$$ Entonces $ \frac{\exp(-\frac12x)-1}{x}$ tiende (por definición) a la derivada de $x\mapsto \exp(-\frac12x)$ en $x=0$ .

Answer 4

Aplicar la regla de L'Hospital para $\frac00$ formulario $$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$$ $$=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}(1+x)^{1/x}-\frac{d}{dx}e}{\frac{d}{dx}x}$$ $$=\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\cdot \frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$$ $$=\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$$

aplicar la regla de L'Hospital para $\frac00$ forma de segundo límite como sigue $$=\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}\frac{x}{1+x}-\frac{d}{dx}\ln(1+x)}{\frac{d}{dx}x^2}$$

$$=\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{(1+x)}}{2x}$$ $$=\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{-x}{2x(x+1)^2}$$ $$=-\frac12\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{(x+1)^2}$$ $$=-\frac12(e)\cdot (1)$$ $$=-\frac e2$$