Dividir la raíz cuadrada de una función compleja en partes reales e imaginarias

Question

Tengo estas funciones a continuación: $$\sqrt{(x+iy)^2-a^2}$$

$$\frac{b(x+iy)}{\sqrt{(x+iy)^2-a^2}}$$

¿Cómo las divido para obtener las partes reales e imaginarias de estas funciones?

¡¡¡¡Si alguien pudiera ayudarme, sería de gran ayuda !!!!

¡¡¡Me ayudará con el método de soluciones fabricadas para mi problema de fractura que tiene la solución de Westergaard (como solución analítica)!!!

Muchas gracias, Mousumi

Answer 1

Dejemos que $\sqrt{(x+iy)^2-a^2}=c+id$

$\implies (x+iy)^2-a^2=(c+id)^2$

Comparación de las partes real e imaginaria

$\implies c^2-d^2=x^2-y^2-a^2\ \ \ \ (1)$

$2cd=2xy$

$(c^2+d^2)^2=(c^2-d^2)^2+(2cd)^2=(x^2-y^2-a^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2+a^4-2a^2(x^2-y^2)$

$c^2+d^2=\sqrt{(x^2+y^2)^2+a^4-2a^2(x^2-y^2)}\ \ \ \ (2)$

Utilice $(1),(2)$

Observe que $cd$ tendrá el mismo signo que $xy$

Answer 2

Básicamente necesitamos un número complejo $A+ib$ tal que su cuadrado es igual a $(x+iy)^2-a^2=(x^2-a^2-y^2)+i(2xy)$ .

Lo tenemos: $$(A+ib)^2=(A^2-b^2)+i(2Ab)=(x^2-a^2-y^2)+i(2xy)$$ dándonos: $A^2-b^2=x^2-a^2-y^2$ y $Ab=xy$ .

Ahora, vamos a conseguir, $$A^2+b^2 = \sqrt{(A^2+b^2)^2} = \sqrt{(A^2-b^2)^2+4A^2b^2}=\sqrt{(x^2-a^2-y^2)^2+4x^2y^2}$$

Así, $A^2=\frac{1}{2}[(x^2-a^2-y^2)+\sqrt{(x^2-a^2-y^2)^2+4x^2y^2}]$ y $b^2=\frac{1}{2}[\sqrt{(x^2-a^2-y^2)^2+4x^2y^2}-(x^2-a^2-y^2)]$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?