Matriz rectangular "ortogonal"

Question

¿Es posible tener una matriz $\mathbf B \in \mathbb R^{m\times n}$ de tal manera que satisfaga: $$\mathbf B^T\cdot\mathbf B = \mathbf I_n$$

Donde $\mathbf I_n$ es el $n\times n$ matriz de identidad.

O en otras palabras, ¿es posible tener una matriz rectangular tal que su transposición sea su inversa izquierda?

Si es así, ¿qué tipo de matriz es? ¿Cómo se podría construir dicha matriz?

Answer 1

Se pueden construir matrices con esta propiedad de la siguiente manera: supongamos que $m\geq n$ y dotar $\Bbb R^m$ con el producto interior euclidiano estándar. Elige los vectores ${\bf v}_1,...,{\bf v}_n$ tal que ${\bf v_i}\cdot{\bf v_j}=\delta_i^j$ donde $\delta$ es el símbolo de Kronecker.

Entonces la matriz $B$ cuyas columnas son los vectores ${\bf v}_1,...,{\bf v}_n$ (en cualquier sistema de coordenadas) tiene la propiedad deseada.

Answer 2

Cualquier matriz de vectores columna ortogonales tiene la propiedad que buscas. Para que dos vectores columna sean ortogonales, su producto punto tiene que ser 0. Esto es lo que dice la respuesta de AdLibitum. En realidad, los matemáticos lo utilizan como una abreviatura de "aquí hay una matriz de vectores columna ortogonales".

Estos vectores ortogonales forman una base ortogonal para el rango de la matriz. Dado que se puede ortogonalizar cualquier matriz linealmente independiente, las matrices de este tipo son muy comunes. También son muy útiles en la práctica: La factorización QR, que descompone una matriz en una parte ortogonal y otra triangular, es uno de los algoritmos más importantes en computación numérica.

Matrices como estas surgen en la vida real todo el tiempo. Por ejemplo, si se toma la SVD de una matriz para revelar su rango y su espacio nulo, los vectores base del rango y los vectores base del espacio nulo pueden formar matrices de columnas ortogonales.

Answer 3

He aquí un ejemplo: $B = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ entonces $B^T\cdot B=1$ . Para algo menos sencillo, puede considerar $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Answer 4

Supongo que $B^T$ tiene más columnas que filas, y que $m=2n$ . Entonces dejemos que $C_{n \times n}$ sea una matriz de rotación (=ortogonal) y $D_{n \times n}=I_{n \times n}$
Entonces dejemos que $B^T= 0.5 \cdot [C \quad D]$ siendo una matriz de bloques, entonces $B^T \cdot B = I_{n \times n}$