Derivación de la distribución máxima de entropía

Question

Estoy leyendo un libro y tengo problemas para seguir algo. El problema es tratar de maximizar la entropía diferencial $- \int_ {0}^{ \infty }p(r) \log p(r)$ bajo las restricciones que $ \int_ {0}^{ \infty }p(r)=1$ y $ \int_ {0}^{ \infty }rp(r)= \mu_ {r}$ . El libro afirma inmediatamente que el resultado es una distribución exponencial. Intenté probármelo a mí mismo pero me quedé atascado, hace tiempo que no hago cálculos, así que estoy seguro de que me falta algo muy básico.

Esto es lo lejos que he llegado. Primero escribí el lagrangiano

$L=- \int_ {0}^{ \infty }p(r) \log p(r)+ \lambda_ {1} \left ( \int_ {0}^{ \infty }p(r)-1 \right )+ \lambda_ {2} \left ( \int_ {0}^{ \infty }rp(r)- \mu_ {r} \right )\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Aquí es donde empecé a perderme un poco, no estaba seguro de cómo diferenciar bajo la integral, así que asumí que la integral era en realidad una suma sobre $p(r_{i})$ y diferenciado $L$ w.r.t. a $p(r_{i})$ . ¿Esto es correcto? ¿Cuál es la manera apropiada y general de resolver tales diferencias?

Siguiendo adelante, después de la diferenciación (suponiendo que fuera una suma) obtuve lo siguiente

$ \frac { \partial L}{ \partial p}=- \log p(r)-1+ \lambda_ {1}+ \lambda_ {2}r=0$

$ \implies p(r)=e^{ \lambda_ {2}r+ \lambda_ {1}-1}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

$ \frac { \partial L}{ \partial\lambda_ {1}}= \int_ {0}^{ \infty }p(r)-1=0$

$ \implies\int_ {0}^{ \infty }e^{ \lambda_ {2}r+ \lambda_ {1}-1}dr=1\ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

$ \frac { \partial L}{ \partial\lambda_ {2}}= \int_ {0}^{ \infty }rp(r)-1=0$

$ \implies\int_ {0}^{ \infty }re^{ \lambda_ {2}r+ \lambda_ {1}-1}dr=1\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Pero ahora, según mi conocimiento, las integrales definidas en (3) y (4) deberían ser iguales al infinito, pero eso no me ayuda y por eso estoy atascado Estoy seguro de que estoy cometiendo un error conceptual muy básico. ¿Puede alguien ayudarme con esta solución? Gracias.

Answer 1

$ \int_0 ^ \infty \mathrm e^{-a x} \mathrm d x = 1/a$ para $a>0$ .

$ \int_0 ^ \infty r \mathrm e^{-a x} \mathrm d x$ puede evaluarse mediante la integración por partes.

Answer 2

Su pregunta sobre las integrales infinitas ya ha sido contestada (note que puede hacer su vida más fácil absorbiendo la $1$ en $ \lambda_1 $ ), así que sólo responderé a su pregunta sobre cómo optimizar sistemáticamente tal integral. La teoría general para este tipo de cosas es la cálculo de las variaciones cuyo principal resultado es la ecuación de Euler-Lagrange. Sin embargo, dado que su integral depende sólo de $p$ y no en el derivado de $p$ la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a $ \frac { \partial \mathcal L}{ \partial p}=0$ (donde $ \mathcal L$ es la densidad de Lagrange, es decir, el integrando), así que tu cálculo es correcto.