Producto del tensor del grupo abelian y un Grupo abeliano libre

Question

Estoy tratando de mostrar que si $F,H$ son abelian grupos con $F$ libre de abelian, y si $a \in F$ $h \in H$ son no-cero, a continuación,$a \otimes h \ne 0$$F \otimes H$.

Esto es, específicamente, en una sección que describa los derivados functor Tor. Por supuesto, eso no significa que la solución tiene que ver con eso, pero no es, probablemente, una forma. Sé que $F$ libre de abelian significa que $F$ es de torsión libre y, por tanto,$\mbox{Tor}(F,A)=0$.

Yo estaba tratando de utilizar una formulación de $\mbox{Tor}$ en términos de secuencias exactas. Si:

$$0 \to R \stackrel{i}{\hookrightarrow} F \to A \to 0$$ is an exact sequence then $\mbox{Tor}(a,B) =\mbox{ker} i \otimes 1_b)$

Me parecía a mí si he elegido la secuencia correcta que podría conseguir que $\mbox{Tor}=0$ implica que el núcleo es trivial, lo que daría el resultado, pero no puedo conseguir que esto funcione

Editar parece que esto es falso, a partir de las respuestas a continuación. Aquí hay un enlace a la pregunta.

Answer 1

Supongamos que $F=\mathbb Z$ y $H=\mathbb Z/2\mathbb Z$. Que $a=2\in F$y que $\xi\in H$ ser el elemento distinto de cero. Entonces $$a\otimes\xi=(2\cdot1)\otimes\xi=1\otimes(2\cdot \xi)=1\otimes 0=0$ $.

Se deduce que lo que quieres demostrar es falso.