Cierre de conjunto con determinados atributos

Question

Tengo dificultades para resolver el siguiente problema:

Supongamos que tenemos un conjunto no vacío $E$ $\subseteq$ $(0,\infty)$ con los siguientes atributos:

1) Si $x\in E$ entonces $x/2\in E$

2) Si $x , y \in E$ entonces $\sqrt {x^2+y^2} \in E$ .

Tenemos que demostrar que $\operatorname{cl}(E)=[0,\infty)$ .

Answer 1

Podemos utilizar dos observaciones. Supongamos que $a\in E$ (existe desde $E$ es no vacía), entonces la propiedad (1) significa que $a2^{-n}\in E$ para cualquier número entero positivo $n$ . Y la propiedad (2) implica que $ka\in E$ para cualquier número entero positivo $k$ . En combinación, esto significa que $ka2^{-n}\in E$ para cualquier número entero positivo $k$ y $n$ .

Qué $\operatorname{cl}(E) = [0,\infty)$ significa que para cualquier $c\in[0,\infty)$ existe una secuencia $c_n\in E$ tal que $\lim c_n = c$ .

Podemos construirlo como $c_n = k_na2^{-n}$ donde $k_n$ es el menor número entero tal que $c < k_na2^{-n}$ (ya que $c\ge0$ esto garantiza que $k_n>0$ y como es el más pequeño garantiza que $0<c_n-c\le 2^{-n}$ ).