Fronteridad de $a+\frac 1a$ cuando se itera

Question

Aquí hay algo que me preguntaba...

¿Es $$a + \frac 1a$$ for any positive real number $ a$ delimitado cuando se itera?

Por ejemplo, si empezamos en $a=1$, continuando nos da $a= 1+ \frac 11=2$, entonces el $a=2+\frac 12=2.5$ y así sucesivamente. Un programa rápido muestra que parece crecer sin límite, pero ¿cómo se probaría esto matemáticamente? Si es posible es... Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

La función $$ f (x) = x + \frac1x $$ está aumentando terminantemente $x\ge1$ (es decir, si $x>y$, entonces el $f(x)>f(y)$). Además, contamos con que $$ f (x) = x + \frac1x > x $$ $x\ge1$. Por lo tanto, $f(f(x))>f(x)$. Sin embargo, la función puede ser limitada, es decir, $f(x)\le M$ % todos $x\ge1$. Pero tenemos que $f(M)>M$, que es una contradicción. Así crece hasta el infinito.

Answer 2

Sugerencia: Suponga tiene un limite $A$, entonces mostrar que finalmente superará que.

Answer 3

¿Cuánto usted agregar en cada paso? Si existe un entero positivo $n$ tal que siempre agrega al menos $1/n$, entonces obviamente la secuencia crece sin límite.

Si no hay ningún número, entonces para cualquier $n$ eventualmente agregará menos de $1/n$. La única manera de agregar menos de $1/n$ es si tu secuencia crece a más de $n$. Así que la secuencia debe crecer sin limite en este caso también.