Representación unitaria de dilataciones en el espacio de Minkowski

Question

Considere la posibilidad de una teoría de campo en el espacio de Minkowski (Lorenz de la firma). Estoy mirando la Dilatación operador $D$, lo que probablemente satisface:

$$[D,\phi(0)]=\tilde{\Delta}\phi(0)$$

donde $\phi(0)$ es un Hermitian operador situado en el origen del espacio-tiempo. Si $D$ es Hermitian, a continuación, $\tilde{\Delta}$ debe ser real: si $|d\rangle$ es un autovector de a $D$ con autovalor $d$

$$D \phi(0)|d\rangle = (\tilde{\Delta}+d) \phi(0) |d \rangle$$

por lo $\tilde{\Delta}+d$ es un autovalor de a $D$ $\tilde{\Delta}$ debe ser real. Pero luego me sale que exponentiating la dilatación operador me da

$$e^{i D \lambda} \phi(0) e^{-i D\lambda} = e^{i \tilde{\Delta}\lambda} \phi(0)\,.$$

Yo estaba bajo la impresión de que si $U(\lambda)$ genera dilataciones queremos satisfacer

$$U(\lambda) \phi(0) U^{-1}(\lambda) = e^{\Delta \lambda} \phi(0)\,.$$

Mi conclusión sería entonces que la última definición de dilataciones no es unitaria de transformación. Es esto correcto? Yo nunca he visto esto se discute en la literatura.

Answer 1

En Minkowski firma de $D$ es anti-Hermitian. En efecto, considere la posibilidad de una real escalares $\phi$, luego tenemos $$ [D,\phi(x)]=(x\cdot \partial_x+\Delta_\phi)\,\phi(x) $$ donde el lado derecho es un Hermitian operador. Por lo tanto, se debe tener una Hermitian operador de la izquierda, que sólo es posible cuando la $D$ es anti-Hermitian. I. e. $$ [D,\phi]^\daga=[\phi^\daga,D^\daga]=-[D^\daga,\phi]. $$ Así se resuelve el problema, porque lo finito unitario reescalado es, a continuación,$e^{\lambda D}$.

Sin embargo, esto conduce a una aparente contradicción: el estado $$ |\psi\rangle = \phi(0)|0\rangle $$ es un eigenstate con de $D$ real con autovalor $\Delta_\phi$, aunque el operador es anti-Hermitian, lo que podría sugerir autovalores imaginarios puros. La resolución es que la manera en que uno demuestra el último está considerando la expectativa de valor de $D$$|\psi\rangle $. Esto no funciona en esta situación debido a que $|\psi\rangle $ no es normalizable, $$ \langle\psi|\psi\rangle =\langle 0|\phi(0)\phi(0)|0\rangle=undefined. $$

De hecho, la Hermitian operador que tiene el discreto espectro de autovalores iguales a los del operador dimensiones en Minkowski firma no es $D$ pero el llamado de conformación de Hamilton $H=P^0+K^0$. Para ver esto, observe que este operador se corresponde con el vector de campo $$ v_\mu=-\delta^0_\mu+2x_\mu x^0-x^2\delta^0_\mu. $$ Los puntos de $x^\mu=(\pm i,0,0,\ldots)$ son fijados por este campo de vectores. Así, este operador satisface $$ [H,\phi(-i,0,0,\ldots)]\propto \Delta_\phi\phi(-i,0,0,\ldots), $$ donde la constante de proporcionalidad es real. Tenga en cuenta que el estado $$ |\phi\rangle\equiv \phi(-i,0,0,\ldots)|0\rangle=e^{-P^0}\phi(0)|0\rangle $$ es bien definida, debido a que $P^0$ es energía y por lo tanto limitada desde abajo, y por lo tanto finito norma $$ \langle\phi|\phi\rangle=\langle 0|\phi(i,0,0,\ldots)\phi(-i,0,0,\ldots)|0\rangle < \infty. $$ Por lo tanto, se da una bien definida eigenstate de $P^0+K^0$.