cambio de variables mediante una sustitución

Question

Que $D$ ser el triángulo con vértices $(0,0),(1,0)$ y $(0,1)$. Evaluar $$\iint_D \exp\left( \frac{y-x}{y+x} \right) \,dx\,dy$$ by making the substitution $u = y-x $ and $v = y + x$

Mi intento de Encontrar el dominio, $D$ $$ (x,y) \rightarrow(u,v) $$ $$ (0,0) \rightarrow(0,0) $$ $$ (0,1) \rightarrow(1,1) $$$$ (1,0) \rightarrow(-1,1) $$ Thus the domain is $-1 \le u \le1$ and $0 \le v \le1$ and the jacobian is $-2$ and so the integral I get is $$ \int0^1 \int{-1}^1 -2e^{\frac{u}{v}} \,du\,dv $$ Esto es terriblemente difícil de integrar y no puedo averiguar de donde he salido mal

Answer 1

Tienes razón, excepto para los límites de integración en $u$. Dibujar el triángulo resultante en el $uv$-plano. ¿Cuáles son los límites de $u$ en su imagen, o $u$ va de ¿para qué? No sólo va de $-1$ $1$al $v = 1$. En general, se $-v \leq u \leq v$ $0 \leq v \leq 1$ (dibujar un horizental línea desde el borde izquierdo del triángulo a la derecha, para cualquier v entre el$0$$1$). Por lo tanto, su integral es $$ \int_0^1 \int_{-v}^v -2 e^{\frac{u}{v}} \, dudv $$ Usted debe ser capaz de evaluar esta ahora.