1. Necesitas, equivalentemente, el pseudo-pullback, iso-como, o pullback homotópico, que en el lenguaje de nLab y de los $\infty$-categoristas más inspirados por la teoría de homotopía que por la teoría de categorías, a menudo se llama un 2-pullback, aunque los teóricos de 2-categorías más anticuados usan esta terminología para el límite estricto. De hecho, el pullback estricto de tu diagrama es simplemente $\mathbf{B}(G_1\cap G_2)$, y los pullbacks estrictos de categorías también son 2-pullbacks.
Con respecto al pseudo-pullback, es un ejercicio sencillo verificarlo directamente. Por definición, un objeto del pseudopullback $P$ está dado por un elemento de $G$: es decir, más pedantemente, un objeto de $\mathbf{B}G_1$, un objeto de $\mathbf{B}G_2$ y un isomorfismo entre sus imágenes en $\mathbf{B}G$. Un morfismo entre $g$ y $g'$ en $P$ está dado por un morfismo $g_1\in G_1$ y otro morfismo $g_2\in G_2$ tal que $g_2g=g'g_1$, o en otras palabras, $g_2gg_1^{-1}=g'$. Cualquier morfismo de este tipo admite $(g_1^{-1},g_2^{-1})$ como inverso, por lo que $P$ es un grupoide. Y en cualquier grupoide, dos objetos están en el mismo componente conexo si y solo si están directamente conectados por un morfismo. Por lo tanto, $g$ y $g'$ son identificados en $\pi_0 P$ si y solo si existen $g_2$ y $g_1$ tal que $g_2 gg_1^{-1}=g'$. Pero esta es exactamente la condición de que $g,g'$ yacen en el mismo bicoseno $(G_2,G_1)$.
2. El término "Beck-Chevalley" ciertamente puede surgir en una amplia gama misteriosa de situaciones. Esta es en realidad un uso más fundamental que el que mencionaste, creo, y ciertamente no requiere ninguna teoría de $\infty$-categorías. En particular, aquí haremos mejor en ver $P$ como viviendo con $\mathbf{B}G, \mathbf{B}G_1$ y $\mathbf{B}G_2$ en un cuadrado de coma (que es equivalente a un cuadrado de iso-coma, ya que $\mathbf{B}G$ es un grupoide) que en un cuadrado de pullback homotópico. Lo que se está usando aquí es la fórmula de cambio de base muy clásica para las extensiones de Kan punto a punto.
Dada cualquier cospan $u:B\to A\leftarrow C:v$ de categorías, tenemos la categoría de coma $v/u$ con sus proyecciones $p:v/u\to C$ y $q:v/u\to B$, así como la transformación natural canónica $\alpha:vp\to uq$. Dada cualquier categoría cocopleta $E$, esto induce un mapa de comparación natural $q_!p^*\to u^*v_!$, donde $u^*:E^A\to E^B$ y $p^*:E^C\to E^{v/u}$ son funtores de precomposición mientras que $q_!: E^{v/u}\to E^B$ y $v_!:E^C\to E^A$ son extensiones de Kan izquierdas. (La comparación se da, concretamente, por $q_!p^*F\to q_!p^*v^*v_!\to q_!q^*u^*v_!\to u^*v_!$, donde los tres mapas son una unidad, inducida por $\alpha$, y una contraunidad, respectivamente).
La fórmula de Kan para una extensión de Kan punto a punto, ligeramente generalizada, dice que esta comparación siempre es un isomorfismo. Puedes ver el caso cuando $B$ es un punto discutido en la página de nLab para extensiones de Kan. Para un estudio general, las mejores referencias que conozco están actualmente en el contexto más general de derivadores. Podrías empezar con el artículo expositivo de Moritz Groth "Derivadores, derivadores apuntados y derivadores estables". En el contexto de ese tema, el isomorfismo que acabo de reclamar codifica el hecho de que cada cuadrado de coma es "exacto". Pero también deberías ser capaz de probar mi afirmación particular a partir de la fórmula de extensión de Kan punto a punto.
La relevancia de todo esto para tu pregunta aparece cuando establecemos $E$ como alguna categoría en la que estamos haciendo teoría de representación, como por ejemplo espacios vectoriales complejos, mientras que $u:B\to A\leftarrow C:v$ se instancia en tu cospan $\mathbf{B}G_1\to \mathbf{B}G\leftarrow \mathbf{B}G_2$. Luego mi $P$ mencionado anteriormente se identifica con $v/u$. Cuando exponentiamos el cuadrado resultante sobre $E$, obteniendo las categorías de representaciones de $G,G_1$ y $G_2$ en $E$, afirmo que un examen más detenido de $E^P$ identificará la fórmula de Mackey con la de Kan.
Lo que queda es observar que la inducción de una representación es una extensión de Kan izquierda, mientras que la restricción es simplemente precomposición. Luego, la fórmula de Kan nos dice cómo inducir una representación de $G_2$ a $G$ y luego restringir a $G_1 al primero restringir a $P, luego inducir a $G_1$. Finalmente, recuperamos la fórmula de Mackey al identificar $P$ (hasta la equivalencia) con $$\bigsqcup_{[g]\in G_1\backslash G/G_2}\mathbf{B}\left(G_2\cap gG_1g^{-1}\right)$$ Esta identificación equivale a calcular el grupo de automorfismos de $g\in P$: es $\{(g_1,g_2):g_2=gg_1g^{-1}\}\cong G_2\cap gG_1g^{-1}$, como se deseaba. Luego, la extensión de Kan izquierda de una representación de $P$ a $\mathbf{B}G_1$ es simplemente la coproducto de las extensiones de Kan izquierda de sus restricciones a los componentes conectados $\mathbf{B}\left(G_2\cap gG_1g^{-1}\right)$, y esto da el otro lado de la fórmula de Mackey.
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Corriendo el riesgo de sonar gruñón: todo esto parece ser demasiado términos haciendo que un hecho simple parezca más complicado de lo necesario, sin ningún beneficio. Escribo esto como alguien que realmente aprecia la utilidad de la teoría de categorías. Aquí parece bastante inútil: ni aclara ni ofrece una generalización fructífera...
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...¿En qué sentido se está utilizando la palabra "origen"? Históricamente, los dobles cosets surgen aquí porque eso es lo que sucede si realmente calculas inducciones-restricciones y restricciones-inducciones y luego los comparas.
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@Stephen La afirmación de que la condición de Beck-Chevalley para cuadrados exactos no es una generalización fructífera es simplemente incorrecta. Tal vez no estabas pensando de esa manera. Como alguien que usa esta condición todos los días en mi trabajo, no puedo estar de acuerdo contigo en que no aclara la situación: ciertamente lucharía por adivinar la fórmula hasta que me doy cuenta de que la inducción es una extensión de Kan izquierda, momento en el que lo sé de inmediato.