Quiero saber la suma$$S=1-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}-\dfrac{7}{8}+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}.$ $ Esta es mi manera. Primero, encontramos la suma$$1 + 3 x + 5x^2 + \cdots + (2n-1) \cdot x^{n-1}=\sum _{k=1}^n (2 k-1) x^{k-1}.$ $ Tenemos$$\sum _{k=1}^n (2 k-1) x^{k-1} = 2\sum _{k=1}^n k\cdot x^{k-1}-\sum _{k=1}^n x^{k-1}. $ $ Note que$$\sum _{k=1}^n k\cdot x^{k-1} = \left (\sum _{k=1}^n x^k\right)' = \left (\dfrac{x\left(x^n-1\right)}{x-1}\right)'=\dfrac{n x^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}.$ $ Otra forma$$\sum _{k=1}^n x^{k-1} = \dfrac{x^n-1}{x-1}.$ $ De los resultados anteriores, tenemos$$1 + 3 x + 5x^2 + \cdots + (2n-1) \cdot x^{n-1}= \dfrac{(2 n-1) x^{n+1}-(2 n+1)x^n+x+1}{(x-1)^2}.$ $ Con $x=-\dfrac{1}{2}$, obtenemos$$S=\dfrac{2^n + (-1)^{n+1} \cdot(6n+1)}{9 \cdot 2^{n-1}}.$ $ ¿Cómo encontrar el resultado de otra manera?
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Lo hubiese hecho de una manera similar pero diferente. Considere el polinomio $$1-3x^2+5x^4-7x^6+\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}.$$If its sum is denoted by $f (x) $ and if$$F(x)=x-x^3+x^5-x^7+\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-1},$$then $F ' = f $. On the other hand$$F(x)=x\left(1-x^2+x^4-x^6+\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}\right)=\frac{x-(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}.$$Therefore,$$f(x)=\frac{-(-1)^n (2 n+1) x^{2 n}+(-1)^n (1-2 n) x^{2n+2}-x^2+1}{(1+x^2)^2}$$and, in particular, your sum is$% $ $f\left(\sqrt{\frac12}\right)=\frac{1}{9} 2^{1-n}\bigl(2^n-6 (-1)^n n-(-1)^n\bigr).$
$$ S + \ frac S2 = \ sum_1 ^ n \ frac {(- 1) ^ {k-1} (2k-1)} {2 ^ {k-1}} + \ sum_1 ^ n \ frac {(- 1 ) ^ {k-1} (2k-1)} {2 ^ {\ color {rojo} k}} \\ = \ sum_1 ^ n \ frac {(- 1) ^ {k-1} (2k-1) } {2 ^ {k-1}} + \ sum_ \ color {red} 2 ^ {\ color {red} {n +1}} \ frac {(- 1) ^ {k-2} (2k-3) } {2 ^ {\ color {red} {k-1}}} \\ = 1 + \ sum_2 ^ n \ frac {(- 1) ^ {k-2} (\ color {red} {2k-1- 2k +3})} {2 ^ {k-1}} + \ frac {(- 1) ^ {n-1} (2n-1)} {2 ^ n}. $$ El resto es bien conocido.
El término general de su serie está en el formulario$(-1)^{n-1}\frac{2n-1}{2^{n-1}} = -4nx^n + 2x^n$ donde$x = -\frac{1}{2}$. Cuando se suma, el último término da lugar a una serie geométrica y para la primera nota que$$(1-x)\left[x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \ldots + nx^n\right] = x+x^2+x^3+\ldots+x^{n} - nx^{n+1}$ $ es simplemente otra serie geométrica. Esto te da
ps
dónde $$\sum_{k=1}^n-4kx^k + 2x^k = -4\frac{\left(g_n(x) - nx^{n+1}\right)}{1-x} + 2g_n(x)$. Tomar$g_n(x) = x+x^2+\ldots+x^n =\frac{x-x^{n+1}}{1-x}$ da el mismo resultado que ya ha encontrado.
