¿Casco convexo generalizada es convexa comunes?

Question

Parece que la definición de convex hull está en un formulario $\sum a_nx_n$ en el que los coeficientes de suma hasta 1. De manera implícita que la combinación es contable y discretos. Estoy interesado en obtener más abstracta expresión: $\int x da$ donde $\int da =1$. Permítanme llamar generalizada convex hull. Hay algunos resultados conocidos en el generalizado convex hull? Creo que contiene el convex hull, pero sigue siendo un subconjunto cerrado de convex hull. Sin embargo, no puedo encontrar un buen ejemplo en $R^n$ a comprender el concepto. Creo que la generalizada casco convexo de abrir la unidad de disco $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ es todavía la de abrir la unidad de disco? Estoy en lo cierto? Si estoy en lo cierto, entonces tenemos Convex Hull$=$Generalizada Convex Hull$\subset$Cierre de Convex Hull en este caso.

Otro ejemplo que me parece interesante es supongamos $A =\{\mathbf{1}_{[0,pt]}(x):pt\in [0,1],x\in [0,1]\} $. A continuación, la combinación convexa de $A$ es sólo el paso de las funciones y todos ellos son discontinuos. Sin embargo, la generalización de la convex hull de $A$ contiene funciones que son continuas en a $x\in(0,1)$. Estoy en lo cierto? Si estoy en lo correcto, entonces, ¿qué es el cierre del casco convexo de $A$? Ahora parece que el cierre es sólo la generalizada casco convexo de $A$. Por lo tanto, tenemos Convex Hull$\subset$Generalizada Convex Hull$=$Cierre de Convex Hull. Como para la topología de este ejemplo, podemos utilizar la inducida por el supremum de la norma en $[0,1]$.

Cuando es generalizada que convex hull y convex hull son equivalentes y cuando es que el cierre de convex hull y generalizada convex hull son equivalentes?

Answer 1

Definiciones recuerdo que desde hace 40 años.

Deje $E$ ser un conjunto en un adecuado espacio vectorial topológico.

$E$ es convexo si todos finito de sumas $$\sum_{i=1}^n a_i x_i$$ belong to $E$, where $n \in \{1,2,3,\dots\}$, $x_i \in E$, $a_i \in [0,1]$, $\sum_{i=1}^n a_i = 1$.

El casco convexo de $E$ es el menor conjunto convexo que contiene a $E$.

$E$ $\sigma$-convexo si todos convergente la serie $$\sum_{i=1}^\infty a_i x_i$$ belong to $E$, where $x_i \in E$, $a_i \in [0,1]$, $\sum_{i=1}^\infty a_i = 1$.

$E$ es medir-convexo si todas las integrales de Bochner $$ \int_E x\;d\mu(x) \etiqueta{3}$$ pertenecen a $E$ donde $\mu$ es no negativo de medida de Radón con $\mu(E) = 1$.

Un agradable lugar para comenzar a aprender acerca de tales integrales como (3) es

Phelps, Robert R., Conferencias sobre Choquet del teorema, Notas de la Conferencia en Matemáticas. 1757. Berlin: Springer. 124 p. (2001). ZBL0997.46005.

Más artículos sobre este tipo de cosas se pueden encontrar en:

Teoría de la medida, Proc. Conf., Oberwolfach 1979, Lect. Notas De Matemáticas. 794, (1980).

Teoría de la medida, Proc. Conf., Oberwolfach 1981, Lect. Notas De Matemáticas. 945, (1982).

Teoría de la medida, Proc. Conf., Oberwolfach 1983, Lect. Notas De Matemáticas. 1089, (1984).

Answer 2

Aquí está Mi pensamiento:

Basado en su definición $T$ tiene que ser una medida en el espacio. Supongo que la definición de la Integral de funciones con valores vectoriales es solo componente-sabio integración. Deje $f : T \to R^n$$q : T \to [0, +\infty)$. (para simplificar, suponga $f(t) \ge 0$ ) considera que $$ \int_{t\in T} f(t)dq(t) := x \in \Bbb R^n $$

Esto es sólo la integración de cada componente de $f$, por lo que cada componente de $x$ parece $$x_i =\sum_{t \in T} f_i (t) q(t)$$ (for simplicity assume $f(t) \ge 0$ ) this is convergent if $\{t \T ; ~ f(t) \neq 0\}$ es contable. Por lo que su definición coincide con la cs-cerrado conjunto.

Para **cs-cerrado ** establecer mira los siguientes papel en 1972

https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S0305004100050933

Para la dimensión infinita caso de que su definición es la generalización de cs-cerrado conjuntos cerrados en infinitas dimensiones, que creo que ha sido utilizado en el control óptimo.