Condición necesaria y suficiente para la matriz de diagonalizable

Question

<blockquote> <p>Que $A\in M_n(\mathbb R)$ y $B=\begin{pmatrix}A & A\\0 & A\end{pmatrix}$. Demostrar que $B$ es diagonalizable si y sólo $A = 0$.</p> </blockquote> <p>Vemos que cualquier polinomio $P$,</p> <p>$P(B) = \begin{pmatrix}P(A) & AP'(A)\\0 & P(A)\end{pmatrix}$ $P'$ Dónde está la derivada de P</p> <p>$B$ es diagonalizable $\iff \exists P$ un polinomio con raíces solo que aniquila B</p> <p>Entonces B diagonalizable y sólo si un diagonalizable porque $P(A)=0$. A aniquila el polinomio $XP'$ demasiado.</p> <p>A partir de ahí, no veo cómo probar que $A=0$</p>

Answer 1

Que $M(X)\in\Bbb{R}[X]$ sea el polinomio mínimo de $A$. Que $P(X)\in\Bbb{R}[X]$ sea un polinomio sin raíces repetidas que aniquila $B$. Entonces $P(B)=0$ y así $P(A)=0$ y $AP'(A)=0$, como se nota. Entonces $M(X)$ divide $P(X)$y $M(X)$ dividex $XP'(X)$. $P(X)$ Tiene sin raíces repetidas, no tiene ninguna raíz común con su derivado $P'(X)$. Se deduce que se divide el $M(X)$ $X$% y tan $A=0$.

Answer 2

He aquí un enfoque alternativo: vamos a $\lambda$ ser cualquiera distinto de cero autovalor de a $A$, y deje $x$ correspondiente autovector. Vemos que $$ (B - \lambda I) \pmatrix{0\\x} = \pmatrix{Ax\\ 0} \neq 0\\ (B - \lambda I)^2 \pmatrix{0\\x} = 0 $$ Así que podemos ver que $B$ no es diagonalizable.

Por lo tanto, $A$ han $0$ como su único eigenevalue. Sin embargo, desde la $B$ es de bloque triangular superior con $A$s en la diagonal, podemos ver que si $A$ $0$ como su único autovalor, entonces también lo hace $B$. Para $B$ a sea diagonalizable con $0$ como su único autovalor, debemos tener $B = 0$.

Si $B = 0$,$A = 0$, según se requiera.