Elevación idempotents modulo ideal y su radical

Question

El siguiente resultado es una consecuencia directa de la Proposición 27.1 de F. W. Anderson y K .R. Fuller "Anillos y categorías de módulos". Pero no puedo demostrarlo. Hay alguna sugerencia?

Definición: Dejar $A$ un ideal en un anillo de $R$ y deje $g+A$ ser un elemento idempotente de $R/A$. Decimos que este idempotente puede ser levantado modulo $A$ en el caso de que no se un idempotente $e^2=e\in R$ tal que $g + A = e + A$.

Hecho: Vamos a $I$ a ser un ideal de un anillo conmutativo con identidad. A continuación, cada idempotente de $R/I$ puede ser levantado modulo $I$ si y sólo si cada idempotente de $R/\sqrt{I}$ puede ser levantado modulo $\sqrt{I}$ donde $\sqrt{I}$ es el radical de $I$$R$.

Answer 1

$(\Rightarrow)$ Un idempotente en $R/\sqrt{I} \cong (R/I)/(\sqrt{I}/I)$ ascensores para un idempotente de $R/I$ por la proposición, puesto que $\sqrt{I}/I$ es un nil ideal en $R/I$. A su vez esto lleva a un idempotente de $R$ por supuesto.

$(\Leftarrow)$ Si $g+I \in R/I$ es idempotente, entonces a partir de la $I \subseteq \sqrt{I}$, por supuesto, no es un idempotente $e \in R$$e-g \in \sqrt{I}$. A continuación, el siguiente hecho aplicado a $R/I$ muestra que $e - g \in I$ como se desee.

Hecho: Si $e, e'$ son idempotente y $e - e'$ es nilpotent, a continuación,$e = e'$.

Prueba: Calcular $(e - e')^3 = e - e'$, lo $(e - e')^{2n+1} = e - e'$ por inducción, y el lado izquierdo es cero por lo suficientemente grande como $n$.

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Esta realidad refuerza la proposición: Si $I$ es un nil ideal en $R$, luego idempotents en $R/I$ levantar de forma exclusiva a idempotents en $R$.