Aquí es de un nivel superior en la descripción de esta operación, principalmente desde la perspectiva de álgebras de Hopf. Tendrás que decidir por ti mismo cómo "functorial" esto es.
Deje $R$ ser conmutativa anillo y $G$ ser un grupo. (Por lo general, tenemos $R=\Bbb Z$ en el grupo cohomology y $R$ un campo en teoría de la representación.) A continuación, $R[G]$- los módulos son de la misma como $R$-módulos junto con un $R$-lineal de la acción de $G$. (A menos que se indique lo contrario, todos los módulos serán izquierda módulos)
Como de costumbre, denotamos por a $M^G$ los invariantes de $M$ bajo $G$, esta es una $R$-módulo.
A continuación, para $R[G]$-módulos de $M$$N$, podemos hacer $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ a una $R[G]$-módulo por la definición de $(gf) (m) :=gf(g^{-1}m)$. Esta definición tiene la propiedad de que tenemos $(\operatorname{Hom}_R(M,N))^G=\operatorname{Hom}_{R[G]}(M,N)$
Podemos motivar a esta acción mediante la natural de Hopf-Álgebra estructura en $R[G]$:
Supongamos por un momento que sólo $N$ $R[G]$- módulo de e $M$ es sólo un $R$-módulo, a continuación, la opción obvia para que un $R[G]$-módulo de estructura en $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ es inducida por la $G$-acción $(gf)(m):=g\cdot f(m)$
(Si desea describir esta en un camino difícil, se podría decir que siempre tenemos una canónica de la izquierda monoid acción de $\operatorname{End}_C(N)$ $\operatorname{Hom}_C(M,N)$ (donde $C$ es cualquier categoría) dado por la composición. El $R[G]$-módulo de estructura en $N$ es equivalente a un monoid homomorphism $G \to \operatorname{End}_R(N)$ e de $G$ sobre el Homset es sólo obtiene como una composición de estas dos acciones).
Ahora supongamos que tenemos la doble situación que sólo se $M$ $R[G]$- módulo de e $N$ $R$- módulo, entonces tenemos una acción natural de la $G$$\operatorname{Hom}_R(M,N)$$(gf)(m)=f(gm)$, pero el problema que surge básicamente de la contravarianza de los Hom functor en el primer argumento, es que este es un derecho de acción, no una acción izquierda. (Doble descripciones de este como la composición de la monoid homomorphism $G \to \operatorname{End}_R(M)$ y la acción natural de la endomorfismo monoid aplicar.)
Si aún desea mantenerse en la categoría de la izquierda de los módulos, el antípoda mapa de la álgebra de Hopf $R[G]$ nos salva. (La antípoda mapa de $S:R[G] \to R[G]$ es inducida por la inversión de $G \to G, g \mapsto g^{-1}$)
La antípoda de mapa es un antihomomorphism, por lo que si queremos componer con la antípoda mapa, podemos convertir este derecho de acción en una acción izquierda.
Explícitamente, esto resulta para darnos la acción $(gf)(m):=f(g^{-1}m)$, pero esto es sólo hemos obtenido mediante el uso de lo que se nos dio en un resumen de configuración.
Ahora supongamos que, efectivamente, tanto en $M$ $N$ $R[G]$- módulos y queremos encontrar la "correcta" $G$-acción en $\operatorname{Hom}_R(M,N)$. Podemos simplemente ignorar ese $M$ $R[G]$- módulo y el uso de la acción que hemos descrito en este caso. También podríamos ignorar ese $N$ $R[G]$- módulo y el uso de la acción que hemos descrito para el caso. Esto le da dos diferentes $R[G]$-módulo de estructuras en $\operatorname{Hom}_R(M,N)$, o dicho de otra manera, se obtienen dos anillos diferentes homomorphisms $R[G] \to \operatorname{End}_{\Bbb Z}(\operatorname{Hom}_R(M,N))$, debido a que estas acciones conmutar pares y están de acuerdo en $R \subset R[G]$, obtenemos un inducida por el anillo homomorphism $R[G] \otimes_R R[G] \to \operatorname{End}_{\Bbb Z}(\operatorname{Hom}_R(M,N))$, esto significa que $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ $R[G] \otimes_R R[G]$- módulo. Pero desde $R[G]$ es una de Hopf-álgebra, tenemos la comultiplication mapa de $\Delta: R[G] \to R[G] \otimes_R R[G]$ $R$- álgebra de morfismos. Que componen la $R[G] \otimes_R R[G]$ acción con el comultiplication mapa nos da el $R[G]$-estructura del módulo se describe en el principio.
Ahora que hemos obtenido la bonita $R[G]$-módulo de estructura en $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ con el fácil comprobar la propiedad de que $(\operatorname{Hom}_R(M,N))^G=\operatorname{Hom}_{R[G]}(M,N)$, la tarea de describir un canónica mapa de $\operatorname{Hom}_R(M,N) \to \operatorname{Hom}_{R[G]}(M,N)$ es simplemente un caso especial de describir un canónica mapa de $X \to X^G$ donde $X$ $R[G]$- módulo.
No es difícil ver, que si vemos a $R$ $R[G]$- módulo con el trivial de la acción (es decir, a través de la counit $\varepsilon:R[G] \to R$), luego
$X^G=\operatorname{Hom}_{R[G]}(R,X)$ , por supuesto, también tenemos $X=\operatorname{Hom}_{R[G]}(R[G],X)$, por lo que describe un mapa de $X \to X^G$ es el mismo que describe un mapa de $\operatorname{Hom}_{R[G]}(R[G],X) \to \operatorname{Hom}_{R[G]}(R,X)$
Si hemos tenido uno $R[G]$-lineal mapa de $N:R \to R[G]$, entonces se podría obtener un mapa sólo mediante la aplicación de la functor $\operatorname{Hom}_{R[G]}(-,X)$ a que. (Y por Yoneda, que es la única manera natural de hacerlo.)
Si tomamos el mismo mapa para todos los $X$, entonces esto también nos da una connaturalidad en $X$ fácilmente, ya que todo es simplemente obtenidas por precomposición con un morfismos en homsets.
Tenemos $\operatorname{Hom}_{R[G]}(R,R[G])=R[G]^G$.
Si $G$ es un infinito de grupo, a continuación,$R[G]^G=\{0\}$, así que no hay nada trivial que se puede hacer con este enfoque.
Pero si $G$ es finito, entonces uno encuentra que $R[G]^G$ es generado por el elemento $N_G=\sum_{g \in G} g$ $R$- módulo. (No tengo un resumen de la explicación para esto, esto es sólo un fácil cálculo que tiene que hacer)
Así que elegir un $R[G]$-lineal mapa de $R \to R[G]$ es equivalente a elegir algunos $R$-varios de $N_G$. Por supuesto, podríamos optar $N_G$ sí (esto es lo que se suele hacer en grupo cohomology, permite relacionar esta materia con la norma y trazar mapas de la teoría de campo si la aplicas donde $G$ es un grupo de Galois.), pero hay otro requisito que hace una elección más natural que otros.
Sería bueno si pudiéramos elegir los morfismos $R \to R[G]$ de tal manera que la composición de la $R \to R[G] \xrightarrow{\varepsilon} R$ es la identidad en $R$ donde $\varepsilon: R[G] \to R$ es el counit del álgebra de Hopf de la estructura. No siempre es posible hacer esto, pero funciona si $|G|$ es invertible en a $R$, entonces podemos tomar $R \to R[G]$ como la multiplicación con $\frac{1}{|G|} N_G$, este es el único $R[G]$-lineal mapa de $R \to R[G]$ con esta propiedad, o en otras palabras, la única sección de la counit $R[G] \xrightarrow{\varepsilon} R$ en la categoría de $R[G]$-módulos.
Asumir que esto es posible en los siguientes. (Otras opciones le dará natural mapas de $X \to X^G$)
Poner todo junto, obtenemos una familia de mapas de $X \to X^G$ y si establecemos $X=\operatorname{Hom}_{R}(M,N)$ dos $R[G]$-módulos de $M$$N$, entonces obtenemos el mapa de $\operatorname{Hom}_R(M,N) \to \operatorname{Hom}_{R[G]}(M,N), f \mapsto (x \mapsto \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}gf(g^{-1}x))$
El requisito de la volvemos a poner en la composición de la $R \to R[G] \xrightarrow{\varepsilon} R$ se convierte en una propiedad que es crucial en la prueba de Maschke del teorema, es decir, que si ponemos $M=N$, entonces el mapa de $\operatorname{Hom}_R(M,M) \to \operatorname{Hom}_{R[G]}(M,M)$ mapas de la identidad a la identidad.
Como por connaturalidad en $G$, no estoy seguro de cómo hacer que funcione en la mayoría de los generales de configuración, pero tenemos algún tipo de "connaturalidad" exacto de secuencias de grupos finitos:
Si $G$ es finito y $|G|$ es invertible en a $R$ $H \lhd G$ es un subgrupo normal, entonces tenemos que $X^H$ $R[G/H]$- módulo y tenemos $(X^H)^{G/H}=X^G$ y si queremos componer los mapas
$X \to X^H, x \mapsto \sum_{h \in H} \frac{1}{|H|} \sum_{h \in H} h\cdot x$ $X^H \to (X^{H})^{G/H}=X^G, x \mapsto \frac{1}{|G/H|} \sum_{\overline{g} \in G/H} g \cdot x$ , entonces obtenemos el mapa
$X \to X^G, x \mapsto \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} gx$ (Comparar este mapa para "corestriction" del grupo cohomology)
