Sobre un espacio métrico

Question

Si definimos una métrica $d(x,y)=\begin{cases}|x|+|y|,&\text{if }x\neq y\\0,&\text{if }x=y\end{cases}$ en $\mathbb{R}$ ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

1. Todo conjunto compacto es finito,
2. $\mathbb{N}$ está abierto,
3. $(\mathbb{R},d)$ está conectado,
4. $\mathbb{Z}$ está abierto.

Creo que tenemos $ B_r(n)=\{ n\}, n\in\mathbb{N}, r <n$ y $ B_r(0)=(-r,r)$ (nota que $ B_r(x_0)= \{y\in\mathbb{R} | d(y,x_0)<r \}$ ) por lo que $ \mathbb{N}$ está abierto y $ \mathbb{Z}$ no está abierto.

$(\mathbb{R},d)$ no está conectado porque $ \mathbb{N}$ es abrir y cerrar.

Tenga en cuenta que $ k(x,y)=\lvert x+y\rvert \le \lvert x\rvert+\lvert y\rvert =d(x,y) $ entonces todo conjunto abierto en $(\mathbb{R},k)$ está abierto en $(\mathbb{R},d)$ .

Ahora es un conjunto compacto en $(\mathbb{R},k)$ también compacto en $(\mathbb{R},d)$ ?

Answer 1

1. El conjunto $$C=\{0\}\cup\left\{\frac1n\,\middle|\,n\in\mathbb N\right\}$$ es compacto, porque cualquier bola centrada en $0$ contiene todos los elementos de $C$ . Por lo tanto, la primera afirmación es falsa.
2. Verdadero, ya que la distancia entre un número natural $n$ y cualquier número real (que no sea $n$ ) es mayor que $1$ . Por lo tanto, $$\mathbb{N}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_1(n).$$
3. El conjunto $\{1\}$ es a la vez cerrado y abierto. Ya que, además, $\emptyset,\mathbb{R}\neq\{1\}$ , $(\mathbb{R},d)$ no está conectado.
4. Esto es falso. Cada bola abierta centrada en $0$ contiene números reales distintos de $0$ .