Comparar algunos números $a=2016^\sqrt{2014}, b=2015^\sqrt{2015},c=2014^\sqrt{2016}$

Question

compare $a=2016^\sqrt{2014}, b=2015^\sqrt{2015},c=2014^\sqrt{2016}$

Me tomó 2 funciones para resolver esta pregunta:

$f(x)=\sqrt{x+1}\ln(x-1)-\sqrt{x}\ln x$ $g(x)=\sqrt{x}\ln x - \sqrt{x-1}\ln(x+1).$

$f(x)$ tiene un máximo local en el punto de abscisa $x_1\in(62,63)$ $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ $f'(x)<0$ $[x_1,\infty).\implies f(2015)>0\implies c>b.$

$g(x)$ tiene un máximo local en el punto de absicssa $x_2\in(45,46), \lim_{x\to\infty}g(x)=0$ $g'(x)<0$ $[x_2,\infty)\implies g(2015)>0\implies b > a.$

Lo que nos deja con la respuesta $c > b > a.$

Sin embargo, yo estaba pensando en una manera de comprobar esto (comparando estos números) usando sólo $1$ función y yo estaba pensando que tal vez algo como $f(x)=\sqrt{x}\ln(4030+x)...$ pero no realmente... ¿cómo podría comparar estos números con sólo una función?

Answer 1

Considerar el $f(x)=\sqrt{x}\ln(4030-x)$. Es una función primaria, por lo que es diferenciable en $[{2000,3000}]$. Ahora, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln(4030-x)-\frac{\sqrt{x}}{4030-x}$.

Intuitivamente, es manera más grande que $\ln(4030-x)$ alrededor de $2$, a la vez $x=2015$, $\sqrt{x}/(4030-x)\approx \sqrt{x}$ % que $f'(x)>0$en $x=2015$, por lo tanto, $c=e^{f(2016)}>b=e^{f(2015)}>a=e^{f(2014)}$, por la monotonía de la función exponencial.

El segundo párrafo se puede hacer riguroso si es necesario...

Answer 2

Tomar la función, $f(x)= x^{\frac1{\sqrt x}}$

$f'(x) = x^{\frac1{\sqrt x}}\times {\frac{2+lnx}{2x^{5/2}}} > 0 $

Así, $f(2016) > f(2014) \implies 2016^{\sqrt{2014}} > 2014^{\sqrt{2016}} $

Ahora, tomar $g(x) = x^{\frac{1}{\sqrt {x-1}}}$ y $h(x) = x^{\frac{1}{\sqrt {x+1}}}$ y hacer lo mismo que el anterior.

Answer 3

Que $f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}$, donde $x>2000$.

Por lo tanto, $$f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{x}}{x+1}-\frac{\ln(x+1)}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{\frac{2x}{x+1}-\ln(x+1)}{2x\sqrt{x}}2000$.

Así, $$g'(x)=\frac{\frac{\sqrt{x+1}}{x}-\frac{\ln{x}}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}=\frac{\frac{2x+2}{x}-\ln{x}}{2(x+1)\sqrt{x+1}}