¿Qué significa que un anillo tenga una involución? ¿Hay algún ejemplo?

Question

Un anillo $R$ se dice que es un anillo con una involución si existe un mapeo $*\colon R \to R$ tal que para cada $a, b \in R$ :

• $a^{**} = a$ ,
• $(a + b)^* = b^* + a^*$ ,
• $(ab)^* = b^*a^*$ .

¿Puede alguien explicar esta definición con un ejemplo?

Answer 1

Una involución es un llamado antihomorfismo (eso es lo que expresa esa última condición) que, si se aplica dos veces, da el mapa identidad. Nótese que su segunda condición es la misma que $(a+b)^* = a^*+b^*$ - La suma es conmutativa.

Como ejemplo típico, veamos $n$ sea un número natural, y que $A$ sea un anillo cualquiera, y consideremos el anillo de $n$ -por- $n$ matrices sobre $A$ . La transposición es una involución en ese anillo. Otro ejemplo clásico: en el anillo de Cuaterniones de Hamilton el mapa $a+bi+cj+dk \mapsto a-bi-cj-dk$ es una involución .

Si el anillo es conmutativo, una involución no es más que un automorfismo de anillo (un homomorfismo invertible del anillo a sí mismo) de orden 2.

Answer 2

Una involución es un mapa que es su propia inversa. Por ejemplo, consideremos el número complejo con la conjugación compleja como involución: Es fácil comprobar que la conjugación compleja satisface las propiedades de la involución.