Aniones no belianos en el formalismo de la integral de la trayectoria

Question

Antecedentes

Clases de homotopía en la integral de trayectoria

Tras la respuesta a esta pregunta sobre el papel de las clases de homotopía en las integrales de trayectoria, me parece razonable que, al calcular el propagador utilizando la formulación de la integral de trayectoria, primero deberíamos hacer la integral por separado para las trayectorias dentro de la misma clase de homotopía del espacio de configuración, y luego sumar estas contribuciones con algunos factores de peso. Matemáticamente, esto sería algo así como

$$ K \, \sim \sum_{\alpha \in \pi_{1}(X)} \chi(\alpha) K^{\alpha}, $$

donde $\pi_{1}(X)$ es el grupo fundamental del espacio de configuración $X$ , $K^{\alpha}$ es la amplitud parcial asociada a las contribuciones de todas las trayectorias dentro de la clase de homotopía $\alpha$ y el $\chi(\alpha)$ son algunos pesos a determinar.

Ahora, en su 1970 papel Laidlaw y DeWitt pretenden demostrar que los pesos $\chi$ debe formar un escalar representación unitaria del grupo fundamental $\pi_{1}(X)$ . La prueba no es demasiado larga, pero no la incluiré aquí en aras de la brevedad.

Grupo fundamental del espacio de configuración

Para $n$ partículas indistinguibles con interacciones duras en $d$ dimensiones, el espacio de configuración es

$$ X = Y(n,d)/S_{n}, $$

donde $S_{n}$ es el grupo de permutación, cociente porque las partículas son indistintas, y $Y(n,d)$ es el conjunto de todos los $n$ -partidas de vectores en $\mathbb{R}^{d}$ tal que no coincidan dos vectores, es decir

$$ Y(n,d) = \{ y = (\mathbf{x}_{1},\dots,\mathbf{x}_{n}) : \mathbf{x}_{i} \in \mathbb{R}^{d} \hspace{0.5em} \text{and} \hspace{0.5em} \mathbf{x}_{i} \neq \mathbf{x}_{j} \}. $$

Es bien sabido que el grupo fundamental de este espacio de configuración es diferente en $d=2$ en comparación con las dimensiones superiores, a saber

$$ \pi_{1}(X) = \begin{cases} B_{n}, \quad d=2 \\ S_{n}, \quad d>2 \end{cases} $$

donde $B_{n}$ es el grupo de la trenza.

Estadísticas de Anyonic

Siguiendo la afirmación de Laidlaw y DeWitt de que los pesos deben formar una representación unitaria escalar de $\pi_{1}(X)$ observamos que $S_{n}$ tiene sólo dos representaciones unidimensionales (unitarias): la representación trivial $\chi(\alpha) = 1$ y la representación del signo $\chi(\alpha) = \pm 1$ dependiendo del signo de la permutación $\alpha$ . El primer caso corresponde a los bosones, mientras que el segundo corresponde a los fermiones. Por lo tanto, para $d>2$ estas son las únicas posibilidades.

Sin embargo, para $d=2$ tenemos $\pi_{1}(X) = B_{n}$ que tiene toda una familia de representaciones unitarias unidimensionales parametrizadas por un solo ángulo $\theta$ como

$$ \chi(\alpha) = e^{i \theta W(\alpha)}, $$

donde $W(\alpha)$ es el número de bobinado de la trenza $\alpha$ . Esto demuestra que en 2 dimensiones podemos obtener Aniones abelianos , es decir, partículas que adquieren una fase $\theta \in [0,2\pi]$ mientras se mueven unos alrededor de otros.

Sin embargo, también se sabe que en $d=2$ también podemos obtener anyones no abelianos lo que en cierto sentido corresponde a tomar los pesos como elementos de una representación no conmutativa de $\pi_{1}(X) = B_{n}$ .

Soy consciente de cómo obtener estadísticas no belianas para un sistema de cuasipartículas con cierta degeneración de energía mirando la fase de Berry no beliana. Sin embargo, me parece que el resultado de Laidlaw y DeWitt de que los pesos deben ser de un rep unidimensional del grupo fundamental nos limita a la estadística abeliana en el contexto de la integral de trayectoria.

Pregunta

¿Cómo aparecen las estadísticas de intercambio no abelianas en la formulación de la integral de trayectoria, y es esto consistente con el resultado de Laidlaw y DeWitt?

Answer 1

Aunque no es la única forma de descripción, las funciones de onda de componentes múltiples o de valor vectorial pueden utilizarse para describir sistemas cuánticos con grados de libertad internos. De forma más general, las funciones de onda pueden ser secciones de haces vectoriales complejos $V \rightarrow Q$ , donde $Q$ es el espacio de configuración.

El razonamiento que lleva al teorema de homotopía de DeWitt-Laindlaw también es válido en el caso de componentes múltiples, lo que puede demostrarse muy fácilmente como sigue (sigo aquí Horvathy Morandi y Sudarshan ):

Para poder proyectarse al espacio de configuración $Q$ una función de onda con valor vectorial (sección de un haz vectorial) en el espacio de cobertura universal $\bar{Q}$ del espacio de configuración $Q$ debe satisfacer:

$$\bar{\psi}(g \bar{q}) = U(g) \bar{\psi}(\bar{q})$$

donde $\bar{q} \in \bar{Q}$ et $g\in \pi_1(Q)$ se utiliza para traducir entre puntos en $\bar{Q}$ proyectado a un solo punto $ q \in Q$ . La razón es que los diferentes puntos $ g \bar{q}$ corresponden a diferentes parches de coordenadas en $Q$ y las matrices $U(g)$ se convierten en funciones de transición sobre las fibras el haz vectorial $V$ . Físicamente, se requiere que las funciones de transición sean unitarias para preservar la probabilidad, matemáticamente, se debe a que el grupo estructural de un haz vectorial complejo puede reducirse al grupo unitario de su rango.

A partir de la representación energética del propagador en $\bar{Q}$ :

$$\bar{K}( \bar{q}_a, t_a, \bar{q}_b, t_b) = \sum_n e^{i E_n (t_b-t_a)} \psi_n(\bar{q}_a) \psi_n(\bar{q}_b) ^{\dagger}$$ Deducimos: $$\bar{K}( g_a\bar{q}_a, t_a, g_b\bar{q}_b, t_b) = U(g_a) \bar{K}( \bar{q}_a, t_a, \bar{q}_b, t_b) U(g_b)^{\dagger}$$ Identificación de la función de onda en $Q$ con la función de onda en $\bar{Q}$ restringido al dominio fundamental, entonces a partir de las relaciones $$\psi(q_a, t_a) = \int_{\bar{Q}} d\mu(\bar{q}_b) \bar{K}( q_a, t_a, \bar{q}_b, t_b) \bar{\psi}(\bar{q}_b, t_b) \quad= \sum_{g \in \pi_1(Q)} \int_Q d\mu(\bar{q}_b) \bar{K}( q_a, t_a, g q_b, t_b)U(g)^{\dagger} \psi(q, t_b)$$ A partir de la cual el propagador en $Q$ puede ser reconocido: $$K (q_a, t_a, q_b, t_b) = \sum_{g \in \pi_1(Q)} K_g(q_a, t_a, q_b, t_b)U(g^{-1})$$ Con: $$K_g(q_a, t_a, q_b, t_b) : = \bar{K}(q_a, t_a, g q_b, t_b)$$

Ahora, cualquier matriz unitaria puede escribirse como una holonomía de una conexión valorada por el álgebra de Lie:

$$U(a) = \mathrm{P}(e^{i\int _{\gamma = [a]} A})$$

Ya que para cualquier camino cerrado en el espacio simplemente conectado $\bar{Q}$ esta holonomía debe desaparecer, entonces la conexión $A$ debe ser plana. Véase, por ejemplo, lo siguiente nota de la conferencia de Olivier Guichard , sobre la biyección entre representaciones de grupos de homotopía y haces planos.

Por tanto, los haces planos no abelianos clasifican los diferentes factores de homotopía de DeWitt-Laindlaw en el caso no abeliano (generalizando el caso abeliano). Ahora bien, sabemos que los haces planos también parametrizan el espacio equivalente al gauge de las soluciones de la teoría de Chen Simons. Por tanto, una forma de incluir estos factores de homotopía en la acción es acoplar la teoría a un término de Chern-Simons. Esto se hizo explícitamente en trabajo por Oh.

Como he mencionado, las funciones de onda multicomponente son sólo una de las formas de describir los grados de libertad internos. Otra posibilidad es formular la teoría en una órbita coadjunta. En este caso, las funciones de onda de valor vectorial se obtienen tras la cuantización de la órbita coadjunta en un espacio de Hilbert que lleva una representación irreducible. La ventaja de este método es que podemos trabajar con funciones de onda escalares pero ahora el espacio de configuración se convierte en un haz de fibras sobre $Q$ cuyas fibras son órbitas coadyuvantes. Esta elección fue tomada por Oh en el artículo anterior cuando añadió los grados de libertad internos acoplando el sistema a $S^2$ que es la órbita coadyuvante correspondiente a $SU(2)$ .

Cabe destacar que las conexiones planas resultantes son soluciones de las ecuaciones de Knizhnik- Zamolodchikov centradas en los vórtices en las ubicaciones de Anyon.