Por favor Cómo puedo yo solucionar %#% $ #%
He intentado todo lo posible aun no encuentro la solución complementaria cualquier ayuda se agradecería con mucho gusto
Gracias de antemano
Respuesta
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Poner $u(x) = \frac{y(x) + y(-x)}{2}$$v(x) = \frac{y(x) - y(-x)}{2}$. Por lo $y(x) = u(x) + v(x)$$y(-x) = u(x) - v(x)$. Entonces su ecuación es \begin{equation}\tag{1}u''(x) + v''(x) + v'(x) - u'(x) = e^x.\end{equation} Ahora que hemos eliminado el $-x$ a partir de la ecuación en el coste de añadir un extra de la variable dependiente, sin embargo usted sabe algo acerca de la paridad de $u$ y $v$: $u$ es incluso y $v$ es extraño por lo tanto una posible manera de resolver es el de dividir la ecuación en pares e impares partes. Desde $u$ es incluso, $u'$ es impar y $u''$ es incluso. Asimismo desde $v$ es impar, $v'$ es incluso y $v''$ es impar. Por lo tanto, si podemos resolver el sistema junto \begin{equation} \tag{2} u''(x) + v'(x) = \cosh(x) \end{equation} y \begin{equation} \tag{3}v''(x) -u'(x) = \sinh(x) \end{equation} entonces tendremos la solución a $(1)$. La diferenciación $(3)$, da $$u''(x)=v'''(x) - \cosh(x)$$ whence, inserting this into $(2)$ gives $$v'''(x) + v'(x) = 2\cosh(x).$$ This has solution $$v(x) = \sinh(x) + A + B\sin(x) + C\cos(x)$$ and since we know $v$ is odd, we must have $a,C = 0$ so $$\boxed{v(x) = \sinh(x) + B\sin(x),}$$ for some constant $B$. Similarly, differentiating $(2)$ gives $$v''(x) = -u'''(x) + \sinh(x)$$ and inserting this into $(3)$ yields $$u'''(x) + u'(x) = 0$$ which (once we've accounted for the fact that $u$ is even) has solution $$\boxed{u(x) = A + C\cos(x)}$$ for some new constants $a,C$. Then $s(x) = u(x) + v(x)$ yields the solution $$y(x) = \sinh(x) + A + B\sin(x) + C\cos(x).$$ At first this looks like too many linearly independent homogeneous solutions, but if we plug our solution for $u,v$ into $(2)$, we find $$-C\cos(x) + B\cos(x) = 0$$ so $B= C$. Thus our final solution is $$\boxed{y(x) = \sinh(x) + A + B(\sin(x) + \cos(x)),}$$ for arbitrary constants $A,B$.
