¿Es una transformación natural?

Question

Fijar un campo K y un espacio vectorial unidimensional $W$ y considerar el functor $V\mapsto V\otimes W$ de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita a sí misma. En el libro que estoy leyendo el autor dice $V$ y $V\otimes W$ son isomorfas pero no naturalmente isomorfas. Para mí eso significa que no hay ninguna transformación natural cuyos componentes sean isomorfismos lineales, desde el functor identidad hasta el $\otimes W$ functor.

Déjame fijar un vector no nulo $w\in W$ y para cada espacio vectorial de dimensión finita $V$ considera el mapa $V\to V\otimes W$ dado por $v\mapsto v\otimes w$ . Para cualquier mapa lineal $f\colon V_1\to V_2$ el diagrama

\begin{array} & V_1 &\longrightarrow &V_1\otimes W\\ \downarrow & & \ \ \ \ \ \downarrow \\ V_2 & {\longrightarrow} & V_2\otimes W \end{array}

conmuta porque un vector $v_1\in V_1$ se envía a $f(v_1)\otimes w$ en ambos casos, ¿verdad? ¿No es ésta la definición de una transformación natural?

Sé que las "cosas naturales" tienen que ver con que los morfismos sean independientes de las elecciones, y mis isomorfismos lineales dependen de una elección no canónica del generador $w\in W$ . Pero no veo por qué, en un sentido riguroso, lo que acabo de definir no sería una transformación natural.

Answer 1

Dicho de otro modo, la elección de un vector no nulo $w \in W$ es lo mismo que una elección de isomorfismo $K \rightarrow W$ ( $1\in K$ se asigna a $w$ ), y $V$ es naturalmente isomorfo a $V \otimes K$ . Así que, sí, tienes razón al decir que existe un isomorfismo natural para cada $w \in W$ .

De hecho, podemos demostrar que ha encontrado todos los isomorfismos naturales. Dado que el functor de identidad está representado por $K$ es decir, existe un isomorfismo $\operatorname{Id}_{Vect_K} \cong \operatorname{Hom}(K, -)$ podemos utilizar el lema de Yoneda para obtener todas las transformaciones naturales $\operatorname{Id}_{Vect_K} \rightarrow -\otimes W$ :

$$\operatorname{Nat}(\operatorname{Id}_{Vect_K}, -\otimes W)=\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(K, -), -\otimes W)=K\otimes W \cong W$$

Así, cada elemento de $W$ da una transformación natural; para los casos de $w$ son isomorfismos.

Supongo que el autor quiere decir que no hay solo isomorfismo natural preferido - hay muchos, todos tan buenos como otros.