Convexo + Monótono =? Convexo

Question

¿La suma de una función convexa y una función monotónicamente creciente (no necesariamente convexa) da lugar a una función convexa?

Answer 1

La función $f(x)=0$ es una función convexa. Por lo tanto, se requiere que toda función monótona creciente sea convexa.

Answer 2

$g(x)=2x+\sin x$ es estrictamente creciente, $f(x)=\frac15x^2$ es estrictamente convexo. Sin embargo, $f''(x)+g''(x)=\frac25-\sin x$ Así que $f+g$ no es convexo.

Answer 3

Para otro ejemplo, que visiblemente no es convexo y de hecho es cóncavo en todas partes, añadir la función estrictamente convexa $f(x) = e^{-x}$ y la función estrictamente creciente $g(x) = -2 e^{-x}$ para conseguir $f(x) + g(x) = -e^{-x}$ .

Answer 4

No. Deja que $f(x) = x^2$ y $g(x) = \begin{cases}1 & x>0\\ 0 & x\leq 0\end{cases}$ .

Entonces $f$ es convexo, $g$ es monótona creciente, pero $f+g$ no es continua en el interior de su dominio y por tanto no puede ser convexa.

Answer 5

El contraejemplo más fácil que se me ocurrió fue $f(x)=|x|-e^{-x}$ :