Buena forma de encontrar$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$

Question

al intentar resolver un problema, me topé con una manera de encontrar la $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$ el uso de identidades y el cúbicos fórmula. Es posible encontrar otros valores de seno o coseno de una manera similar ?

Considere la posibilidad de $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right).$$ El uso de la diferencia de cosenos identidad, tenemos $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = -2\sin\left(\frac{3\pi}{10}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right).$$

Ahora vamos a cambiar el lado derecho de usar la identidad de $\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ y el hecho de que $\sin(x)$ es impar.

$$-2\sin\left(\frac{3\pi}{10}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$$ Así, $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$$

Ahora hacemos uso de la identidad de $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$. $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - 2\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)+1 = 2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) \left(2\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-1\right)$$ Deje $y=\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$ y hemos $$y-y^2+1=2y(2y^2-1)$$ $$4y^3+2y^2-3y-1=0$$ el que tiene la solución correcta $$ y=\frac{\sqrt{5}+1}{4} =\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) $$ Una de las raíces también es $\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)$, con lo cual supongo que es porque terminan con el mismo cúbicos si aplicar lo anterior al pecado.

Answer 1

Usando números complejos podemos derivar$\sin(\frac{\pi}{5})$ y$\cos(\frac{\pi}{5})$$$ z^5=-1 \implies z^4-z^3+z^2-z+1=0 \implies z^2+\frac{1}{z^2}-z-\frac{1}{z}+1=0 $ $ Por sustitución$t=z+\frac{1}{z}$ obtenemos:$$ t^2-t-1=0 \implies t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $ $ Y porque$\cos(\frac{\pi}{5})$ es positivo, puede considerar solo$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$$ z^2-z\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1=0 \implies z=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\pm i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} $ $ Y obtenemos ese$\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4} $ y$\sin(\frac{\pi}{5})= \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Answer 2

Hay un poco más corto manera:

$$\sin\frac{\pi}{5}=\sin\frac{4\pi}{5}=2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=4\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}$$

Por lo tanto

$$\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac14$$

También se puede escribir esta

$$\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{3\pi}{5}=-\frac14$$

A continuación, utilizando la fórmula de $2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)$, se tiene:

$$\frac12=2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{5}$$

Por lo tanto $\cos\frac{\pi}{5}$ $\cos\frac{3\pi}{5}$ son las raíces de $t^2-\frac12t-\frac14$. El resto es fácil, y el positivo de la raíz es $\cos\frac{\pi}5$.

---

Para responder a tu pregunta: en general, no es posible encontrar los valores de $\cos\frac{\pi}{n}$ sólo por los radicales, aunque son números algebraicos. Incluso en el caso de obtener una irreductible cúbicos ecuación (que se pueden resolver por radicales), es el "trigonométricas caso de que" aquí, el que no tiene con la expresión real de los radicales (y un complejo cúbico raíz de las necesidades de las funciones trigonométricas de todos modos). Por ejemplo, $\cos1^\circ$ no pueden ser calculadas de acuerdo con el real radicales. Pero $\cos3^\circ$.

Aunque en general no es posible, hay algunos trucos que usted puede aplicar, por ejemplo

$$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)$$

También, si usted puede calcular el $\cos x$ por los radicales, entonces usted puede calcular el $\cos\dfrac{x}{2^n}$.

---

Es así, que los ángulos de la forma $\frac{\pi}{n}$ conduce a funciones trigonométricas computable por los radicales? La respuesta es dada por el de Gauss-Wantzel teorema. Por ejemplo, uno puede calcular el $\cos\dfrac{\pi}{17}$. Sin embargo, el cálculo no es obvia, ver http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html

Answer 3

Todo comienza con encontrar$\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)$

Bien ... digamos$x=\frac{\pi}{10}$

$$5x=\frac{\pi}{2}$ $$$2x=\frac{\pi}{2}-3x$ $$$\sin(2x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)$ $$$\sin(2x)=\cos(3x)$ $$$2\sin(x)\cos(x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$ $$$2\sin(x)\cos(x)-4\cos^3(x)+3\cos(x)=0$ $$$\cos(x)\left(2\sin(x)-4\cos^2(x)+3\right)=0$ $$$2\sin(x)-4\cos^2(x)+3=0$ $$$2\sin(x)-4(1-sin^2(x))+3=0$ $$$2\sin(x)-4+4\sin^2(x)+3=0$ $$$4\sin^2(x)+2\sin(x)-1=0$ $ Ahora usa la fórmula$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$a=4,b=2,c=-1$ $$$=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(4)(-1)}}{2(4)}$ $$$=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{8}$ $$$\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$ $

Otra forma de encontrar el valor de$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$

$$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(2\left(\frac{\pi}{10}\right)\right)$ $$$=1-2\left(\sin\frac{\pi}{10}\right)^2$ $ Dado que$\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$$=1-2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2$ $$$=1-\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{8}$ $$$=\frac{8-5-1+2\sqrt{5}}{8}$ $$$=\frac{2+2\sqrt{5}}{8}$ $$$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ $ Ahora vamos a encuentra$\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$$$\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)}$ $$$=\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2}$ $$$=\sqrt{1-\frac{1+5+2\sqrt{5}}{16}}$ $$$=\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}$ $$$\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ $

Answer 4

Otra manera fresca para encontrar el valor de $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ $$\Phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$ $$\cos A=\frac{(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}+1)^2-2^2}{2(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}$$ $$=\frac{2(6+2\sqrt{5})-4}{2(6+2\sqrt{5})}=\frac{3+\sqrt{5}-1}{3+\sqrt{5}}$$ $$=\frac{2+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$