Vamos a convertir el tablero de ajedrez en puntos: (fila, columna). El tablero de ajedrez normal se refiere a las columnas A a H. Nosotros usaremos 1 a 8. Considera la resta de la fila menos la columna:
$$\begin{matrix} & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 8 & | & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 7 & | & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 \\ 6 & | & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 5 & | & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 \\ 4 & | & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 3 & | & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 \\ 2 & | & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 \\ 1 & | & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7\end{matrix}$$
¿Notas cómo estos números son constantes en las diagonales?
Luego considera la suma de la fila más la columna:
$$\begin{matrix} & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 8 & | & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 7 & | & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 6 & | & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 5 & | & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ 4 & | & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 3 & | & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 2 & | & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 1 & | & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\end{matrix}$$
¿Notas cómo estos números son constantes en las diagonales opuestas? Entonces, estás buscando 14 pares de números del 1 al 8 de tal manera que obtengas 14 pares distintos (fila - columna, fila + columna) de manera que ningún otro par comparta la misma fila-columna o fila+columna.
Revisé mis notas antiguas para ver dónde recuerdo un problema similar a este. Puede haber sido el seminario en el que discutimos diseños de bloques. En realidad, no tomé una clase que se enfocara en diseños de bloques, así que no recuerdo la configuración. Creo que este enfoque podría ser interesante (y dar más detalles sobre las configuraciones), pero también más consumidor de tiempo y tal vez no valga la pena. Específicamente, este es un problema para un Diseño de Transversales.
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¿Sabes si es posible colocar 15 obispos en el tablero? Supongo que no, pero entender por qué no, y por qué 14 es el máximo, probablemente ayudará mucho a encontrar la respuesta.
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@Bram28 No es posible, se ha añadido una prueba.
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¿Qué quieres decir con tratar las diagonales $1$ y $15$ como iguales?
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@Théophile Si colocas un obispo en la diagonal 1, se hace imposible colocar un obispo en la diagonal 15, y viceversa. Por lo tanto, las diagonales 1 y 15 pueden tratarse como una sola diagonal.
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@GustavBertram Entiendo, gracias.
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Posible duplicado de Demuestra que si se colocan quince alfiles en un tablero de ajedrez, entonces al menos dos de ellos se atacan mutuamente.
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@ShubhrajitBhattachrya Esto definitivamente parece ser una pregunta separada de aquella. Mientras que tratan de obispos en un tablero de ajedrez, esta pregunta pregunta sobre el número de arreglos para 14 obispos que no se atacan entre sí, no sobre si son posibles 15 obispos que no se atacan entre sí (que ni siquiera se menciona en el problema original y no tiene relación directa con su solución).
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Una pregunta más difícil sería cuántas formas máximas pueden colocarse los alfiles en un tablero de ajedrez sin conflicto. Significando que no se pueden agregar más alfiles, pero no necesariamente hay 14 en el tablero :-)
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@N8tron, ¿cuántos obispos son necesarios para llenar el tablero de modo que no queden cuadros sin atacar? ¿También son 14 (por el mismo argumento diagonal)?
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Creo que el valor mínimo de alfiles necesarios para no dejar cuadros blancos sueltos es de 4. Intenta con e2, e4, e6, e8. Así que para todo el tablero, diría 8. Solo alinea todos los alfiles a lo largo del archivo e, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8.