Es $[G_p \cap G_q:G_{pq}]$ ¿siempre finito?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo, $G_n = \langle\{g^n| g \in G\}\rangle$ . Supongamos que $p$ y $q$ son enteros coprimos. No es difícil darse cuenta de que $G_{pq} \leq G_p \cap G_q$ (" $\leq$ "significa aquí "es un subgrupo de") y hay casos en los que la desigualdad se mantiene ( $G_{pq}$ es un subgrupo propio). Por ejemplo, en un grupo libre $G = F[a, b]$ el elemento $a^3(ab^2)^3$ es un elemento de ambos $G_2$ y $G_3$ pero no de $G_6$ .

Sin embargo, no he encontrado ningún ejemplo en el que $G_{pq}$ es de índice infinito en $G_q \cap G_p$ . La prueba de que no la hay, tampoco se me ocurrió. Y por eso hago una pregunta: ¿Es el índice de $G_{pq}$ en $G_p \cap G_q$ ¿siempre finito?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $F$ sea el grupo libre en $X_{n,i}$ para $n\in \mathbb{N}, i\in \{0,1,2\}$ ; y dejar que $G$ sea el cociente de $F$ por el subgrupo normal generado por las relaciones $X_{n,1}^p=X_{n,0}=X_{n,2}^q$ para cada $n\in \mathbb{N}$ .

Por lo tanto, en $G$ Cada uno de ellos $X_{n,0} \in G_p\cap G_q$ .

Reclamación: $X_{n,0}G_{pq} \neq X_{m,0}G_{pq}$ para $m\neq n$ .

En efecto, supongamos que $X_{n,0} = X_{m,0}w_1^{pq}...w_k^{pq}$ para algunos $w_i\in G$ .

Entonces esto implica, de vuelta en $F$ que $X_{n,0}=X_{m,0}w_1^{pq}...w_k^{pq} h_1r_1h_1^{-1}...h_lr_lh_l^{-1}$ para algunos $h_i \in F$ y $r_i$ entre las relaciones.

Modificación de todos los $X_{a,i}$ 's para $a\neq m,n$ podemos suponer que las únicas letras que aparecen son $X_{n,i}, X_{m,j}$ y sus inversos, y esta ecuación se mantiene en el grupo libre sobre estos tipos modulo las relaciones obvias.

Pero ahora basta con encontrar un grupo con dos elementos distintos $x,y \in G_p\cap G_q\setminus G_{pq}$ tal que $y^{-1}x\notin G_{pq}$ para demostrar que esto no es cierto. Pero para ello, tomando por ejemplo $y=e$ basta con encontrar $x\in G_p\cap G_q \setminus G_{pq}$ : su ejemplo en $F[a,b]$ por ejemplo, funciona): por lo que esta ecuación no puede sostenerse para $m\neq n$ .

Esto demuestra la afirmación. Pero esto implica que $[G_p\cap G_q: G_{pq}]$ es infinito.

Answer 2

En su ejemplo, $G_6$ tiene un índice finito en $G_3$ y $G_2$ . Esta respuesta explica por qué, pero también enlaza con una investigación seria que está relacionada con su pregunta.

Supongamos que $G$ está libre de rango $m$ . Entonces $G/G_n$ tiene un nombre: es el grupo libre de Burnside $B(m, n)$ . Véase, por ejemplo, aquí . La gente seria piensa en estos grupos, y Zelmanov recibió su medalla de campo por responder a una pregunta relacionada con estos grupos (el "problema restringido de Burnside").

Un caso especial de su pregunta es entonces: ¿existen primos $p$ y $q$ y un número entero $m>1$ tal que $B(m, p)$ y $B(m, q)$ son finitos pero $B(m, pq)$ es infinito?

Hasta donde yo sé, esto es desconocido. Pero probablemente sea falso (¡y difícil!). Sin embargo, Marshal Hall Jr. demostró que $B(2, 6)$ es finito (véase el enlace anterior). De ello se desprende que $G_6$ tiene un índice finito en ambos $G_3$ y $G_2$ , por lo que claramente tiene índice finito en su intersección.

Preguntas:

1. Es $B(2, 5)$ (Este es un conocido problema abierto).

2. Es uno de $B(2, 10)$ ou $B(2, 15)$ ¿Infinito?

Si la respuesta a estas dos preguntas es "sí", entonces ha respondido a su pregunta de una manera realmente agradable :-)