Área del Polígono Limitador

Question

Empieza con un triángulo equilátero con unidad de área. Trisecciona cada uno de los lados y luego corta las esquinas. En este caso, obtenemos un hexágono regular - ver la imagen de abajo. A continuación, trisecciona cada uno de los lados del hexágono y corta las esquinas. Esto dará un dodecágono, pero no uno normal .

Continuar este proceso ad infinitum .

¿Cuál es el área del "polígono" limitante?

Mi primer pensamiento fue que sería el círculo tangente al punto medio de cada lado. Sin embargo, al hacer algunas fotos, queda claro rápidamente que el polígono limitante no es un círculo y, de hecho, podría ser una elipse. El problema es que mientras que hay un círculo único que pasa por tres puntos cualquiera en posición general, necesito cinco puntos genéricos para especificar una cónica.

¿Alguien puede sugerir alguna pista de cómo encontrar la zona? Por "pista" no me refiero a "lo que crees que podría funcionar", sino a "lo que has intentado y sabes que funcionará". Gracias de antemano.

Answer 1

Calculamos explícitamente que el área del polígono límite es $\dfrac{4}{7}A$ donde $A$ es el área del triángulo original.

Note que en el $(n+1)$ -la iteración cortamos el doble de triángulos que en la $n$ - la iteración. Considere los triángulos que cortamos en el $(n+1)$ - la iteración. Cada uno de estos tiene $\dfrac{1}{3}$ la altura y $\dfrac{1}{3}$ la base de un triángulo cortado en el $n$ - la iteración. Por lo tanto, la proporción de las áreas de estos triángulos es $\dfrac{1}{9}$ . Ya que el área total de los primeros triángulos que cortamos es $\dfrac{1}{3}A$ tenemos que el área del polígono límite es

$$A-\sum\limits_{n=0}^\infty2^n\left(\frac{1}{3}A\right)\left(\frac{1}{9}\right)^n=A-\frac{1}{3}A\frac{1}{1-\frac{2}{9}}=\frac{4}{7}A$$

No estoy seguro de que esto nos ayude a determinar la forma de la figura límite.

Esto fue motivado por el cálculo de Hagen von Eitzen y la posterior observación de Michael.

$\\$

EDITORIAL: Explicación de $\dfrac{1}{3}$ base y $\dfrac{1}{3}$ declaración de altura.

Considere el polígono en un vértice en particular $V$ justo antes de hacer la $n$ - la iteración se corta. Elija un borde particular que bordee $V$ y dejar que tenga longitud $9x$ .

Ahora toma el $n$ - y $(n+1)$ - la iteración se corta. En la figura de arriba, el triángulo verde es uno que se corta en el $n$ -la iteración corta, y el triángulo rojo es un corte en el $(n+1)$ - la iteración se corta.

Debido a que trisecamos cada vez, un lado del triángulo verde tiene longitud $3x$ y un lado del triángulo rojo tiene longitud $x$ . Llama a estos lados la base de cada triángulo. Consideremos ahora la longitud de las altitudes correspondientes a estas bases, dejando que la altitud del triángulo verde sea de longitud $3y$ . Por triángulos similares encontramos que la altitud del triángulo rojo tiene longitud $y$ (los triángulos similares están delineados en negro).

Por lo tanto, la proporción del área del triángulo rojo con respecto al área del triángulo verde es $$\frac{\frac{1}{2}xy}{\frac{1}{2}(3x)(3y)}=\frac{1}{9}$$ como se afirma.

Nota divertida: no usamos el hecho de que los triángulos en cuestión son isósceles.

Answer 2

Numéricamente, después de ir todo el camino hasta el 12288-gon, el área de la forma (como proporción del triángulo original) está entre $$\frac{17932033916}{31381059609}= 0.5714285667\ldots$$ y $$\frac{53796102772}{94143178827}= 0.5714285776\ldots$$

Llegando hasta los 1572864-gon, la estimación mejora hasta $$0.57142857142859\pm1.5\cdot10^{-13}.$$

No veo ningún número "reconocible" en esto, así que dudo que cualquier cosa que no sea numérica ayude.

Answer 3

Cortando las esquinas como has descrito se obtiene un polígono regular de lados infinitos: un círculo.

Será tangente al triángulo original en los puntos medios de los lados.

Si la longitud del lado de tu triángulo es $1$ el radio del círculo inscrito es $\tfrac{1}{2}$ y el área es $\tfrac{\pi}{4}$ .