¿Por qué es importante que una matriz sea cuadrada?

Question

Actualmente estoy intentando estudiar álgebra lineal por mi cuenta. Me he dado cuenta de que muchas de las definiciones de los términos (como los vectores propios, los polinomios característicos, los determinantes, etc.) requieren un cuadrado en lugar de cualquier matriz de valor real. Por ejemplo, Wolfram tiene esto en su definición del polinomio característico:

El polinomio característico es el lado izquierdo del polinomio de la ecuación característica $\det(A - I\lambda) = 0$ , donde $A$ es una matriz cuadrada.

¿Por qué la matriz debe ser cuadrada? ¿Qué ocurre si la matriz no es cuadrada? ¿Y por qué las matrices cuadradas aparecen con tanta frecuencia en estas definiciones? Lo siento si esta es una pregunta muy simple, pero siento que me estoy perdiendo algo fundamental.

Answer 1

Recuerde que un $n$ -por- $m$ con entradas de números reales representa un mapa lineal de $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$ (o más generalmente, un $n$ -por- $m$ matriz con entradas de algún campo $k$ representa un mapa lineal de $k^m$ a $k^n$ ). Cuando $m=n$ - es decir, cuando la matriz es cuadrada, estamos hablando de un mapa de un espacio a sí mismo.

Así que realmente su pregunta equivale a:

¿Por qué los mapas de un espacio a mismo - a diferencia de los mapas de un espacio a otra cosa - ¿es especialmente interesante?

Bueno, la cuestión es que cuando estoy mirando un mapa de un espacio a sí mismo las entradas y salidas de ese mapa son del mismo "tipo" de cosa, y así poder compararlas significativamente . Así, por ejemplo, si $f:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^4$ tiene sentido preguntar cuando $f(v)$ es paralelo a $v$ ya que $f(v)$ y $v$ se encuentran en el mismo espacio; pero preguntando cuando $g(v)$ es paralelo a $v$ para $g:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$ no tiene ningún sentido, ya que $g(v)$ y $v$ son simplemente diferentes tipos de objetos. (Este ejemplo, por cierto, sólo dice que vectores/valores propios tienen sentido cuando la matriz es cuadrada, pero no cuando no lo es).

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Como otro ejemplo, consideremos el determinante. El significado geométrico del determinante es que mide cuánto "expande/contrae" un mapa lineal una unidad de volumen (con signo) - por ejemplo, el mapa $(x,y,z)\mapsto(-2x,2y,2z)$ toma una unidad de volumen para $-8$ unidades de volumen, por lo que tiene determinante $-8$ . Lo interesante es que esto se aplica a cada volumen: no importa si miramos cómo el mapa distorsiona el cubo habitual 1-1-1, o algún otro cubo aleatorio.

Pero, ¿y si intentamos pasar de $3$ D a $2$ D (por lo que estamos considerando una $2$ -por- $3$ matriz) o viceversa? Bien, podemos intentar utilizar la misma idea: (proporcionalmente) cuánto zona hace un determinado volumen ¿acabará produciendo? Sin embargo, ahora nos encontramos con problemas:

• Si pasamos de $3$ a $2$ el "factor de estiramiento" ya no es invariable. Consideremos el mapa de proyección $(x,y,z)\mapsto (x,y)$ y pensar en lo que ocurre cuando estiro un poco el volumen verticalmente...

• Si pasamos de $2$ a $3$ Nunca vamos a conseguir ningún volumen, la dimensión inicial es demasiado pequeña. Así que, independientemente del mapa que estemos mirando, nuestro "factor de estiramiento" parece ser $0$ .

La cuestión es que, en el caso no cuadrado, el "determinante", tal como se interpreta ingenuamente, está mal definido o es $0$ por razones estúpidas.

Answer 2

Ya hay muchas respuestas buenas sobre por qué las matrices cuadradas son tan importantes. Pero para que no pienses que otras matrices no son interesantes, tienen análogos de la inversa (por ejemplo, la Inversa de Moore-Penrose ) y las matrices no cuadradas tienen un descomposición de valores singulares donde los valores singulares desempeñan un papel vagamente análogo al de los valores propios de una matriz cuadrada. Estos temas suelen quedar fuera de los cursos de álgebra lineal, pero pueden ser importantes en los métodos numéricos para la estadística y el aprendizaje automático. Pero hay que aprender los resultados de las matrices cuadradas antes que los resultados de las matrices no cuadradas, ya que los primeros proporcionan un contexto para los segundos.

Answer 3

En el álgebra lineal, las matrices suelen representar transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Un $m \times n$ matriz $M$ representa una transformación lineal de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$

Cuando la matriz es cuadrada ( $m=n$ ) se puede considerar que representa una transformación de $\mathbb{R}^n$ a sí mismo. Es entonces cuando los conceptos de valores propios y el polinomio característico cobran sentido.

Answer 4

Para añadir a la respuesta de @Ethan lo que es fundamental cuando un mapa lineal va de un espacio vectorial a mismo es que puedes comparar un vector con su imagen :

• ¿se giró?
• ¿se escaló su longitud?
• ¿se convirtió en un múltiplo de sí mismo?

O un conjunto de vectores con su imagen:

• ¿En cuánto se estiró el volumen de este paralelepípedo?

Todas estas cuestiones tienen sentido (y aportan muchísima información sobre el mapa lineal) sólo cuando el dominio y el codominio coinciden. El determinante, el polinomio característico, etc. están ahí para responder a estas preguntas.

Answer 5

Un punto que no se ha explicitado en las respuestas hasta ahora es que poderes de una matriz sólo tienen sentido si la matriz es cuadrada.

Una matriz cuadrada $\mathcal{M}(A)$ representa un mapa lineal $A:V \rightarrow W$ para el que las dimensiones de su dominio $V$ y su codominio $W$ son iguales, por lo que su dominio y su codominio son isomorfo como espacios vectoriales (a menudo pensamos que el dominio y el codominio son el mismo espacio vectorial, pero estrictamente hablando esto no es necesario).

Si el dominio y el codominio de $A$ son el mismo espacio vectorial entonces podemos componer $A$ con ella misma, creando mapas lineales $A \circ A$ , $A \circ A \circ A$ etc. Éstas están representadas a su vez por las matrices cuadradas $\mathcal{M}^2$ , $\mathcal{M}^3$ etc. Esto nos permite definir funciones polinómicas de una matriz cuadrada y, por tanto, dar sentido a afirmaciones como el teorema de Cayley-Hamilton.