Evaluar $\int \frac{dx}{x^2 - 2x} dx$

Question

$$\int \frac{dx}{x^2 - 2x}$$

Sé que tengo que completar el cuadrado por lo que el problema se convierte.

$$\int \frac{dx}{(x - 1)^2 -1}dx$$

Entonces, preparé mis cosas A B y C

$$\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{-1}$$

Con eso encuentro $A = -1, B = -1$ y $C = 0$ que sé que está mal.

Debo estar configurando el $A, B, C$ cosa mal, pero no sé por qué.

Answer 1

Añadido: "Sé que tengo que completar el cuadrado" es ambiguo. Lo interpreté como que el OP pensamiento que completar el cuadrado era necesario para resolver el problema.

Completar el cuadrado no es una herramienta universal. Para encontrar la integral de manera eficiente, ciertamente no es necesario completar el cuadrado.

El enfoque más sencillo es utilizar fracciones parciales. Los factores de fondo como $x(x-2)$ . Encuentre los números $A$ y $B$ tal que $$\frac{1}{x^2-2x}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}.$$

Answer 2

Mi libro me dice que tengo que completar el cuadrado

$$I=\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{x^{2}-2x} &=&\int \frac{dx}{\left( x-1\right) ^{2}-1}\overset{ u=x-1}{=}\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du=-\text{arctanh }u+C \end{eqnarray*},$$ $$\tag{1}$$

donde he utilizado la sustitución $u=x-1$ y la derivada estándar $$\frac{d}{du}\text {arctanh}=\frac{1}{1-u^{2}}\tag{2}$$

Sólo tienes que sustituir $u=x-1$ para escribir $\text{arctanh }u$ en términos de $x$ .

Añadido 2 : Nota: . Si utilizamos la representación logarítmica del función hiperbólica inversa $\text{arctanh }u$ $$\begin{equation*} \text{arctanh }u=\frac{1}{2}\ln \left( u+1\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 1-u\right),\qquad (\text{real for }|u|<1)\tag{3} \end{equation*}$$ obtenemos para $u=x−1 $ $$\begin{eqnarray*} I &=&-\text{arctanh }u+C=-\text{arctanh }\left( x-1\right) +C \\ &=&-\frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{2}\ln \left( 2-x\right) +C \\ &=&\frac{1}{2}\left( \ln \frac{2-x}{x}\right) +C\qquad (0<x<2). \end{eqnarray*}\tag{4}$$

Añadido. Si su libro requiere el uso de fracciones parciales entonces se puede proceder de la siguiente manera $$\begin{equation*} \int \frac{1}{u^{2}-1}\,du=\int \frac{1}{\left( u-1\right) \left( u+1\right) }\,du=\int \frac{1}{2\left( u-1\right) }-\frac{1}{2\left( u+1\right) }du. \end{equation*}$$ $$\tag{5}$$

Answer 3

$$\begin{align} & {} \quad \int \frac{dx}{x^2 - 2x}\\ &=\int \frac{dx}{(x - 1)^2 -1}dx\\ &=\int \frac{dx}{(x - 1-1) (x-1+1)} \\ &=\int \frac{dx}{x(x-2)}\end{align}$$

El resto es fácil (fracciones parciales):

$$\frac 12 \left[\int \frac {dx}{x-2} - \int \frac {dx}x\right]=\frac 12 \ln|x-2| -\frac 12 \ln |x| +C$$

Answer 4

Supongo que también podrías haber utilizado sustituciones trigonométricas. Completando el cuadrado como has hecho, obtenemos que $$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2-2x} = \int \frac{dx}{(x-1)^2 - 1}.$$

Ahora dejamos que $x-1 = \sec \theta.$ Observe entonces que $dx = \tan \theta \sec \theta \ d\theta.$ Ahora tenemos $$ \int \frac{dx}{(x-1)^2 - 1} = \int \frac{\tan \theta \sec \theta \ d\theta}{\sec^2\theta-1} = \int \frac{\tan \theta \sec \theta \ d\theta}{\tan^2 \theta} = \int \frac{\sec \theta \ d\theta}{\tan \theta} = \int \csc \theta \ d\theta. $$ Y, $$ \int \csc \theta \ d\theta = \ln (\csc \theta - \cot \theta) + C = \ln \left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}} \right) + C,$$ como se desee.

(Esto se debe a que desde $x-1 = \sec \theta,$ obtenemos $1/(x-1) = \cos \theta$ y por lo tanto $\sin \theta = (\sqrt{x^2-2x})/(x-1)$ y simplemente hacemos las sustituciones necesarias en $\csc \theta - \cot \theta$ ).