Demuestre que$A$ no puede ser invertible si$A^2=0$

Question

Permita que$A$ sea una matriz$n\times n$ para la cual$A^2=0$. Demuestre que$A$ no puede ser invertible.

Mi intento:

Dado$A^2 = 0$, esto significa que$A = 0$. Si$A$ es invertible, debe haber un$n \times n$ matriz$B$ tal que$AB = I$. Sin embargo, como$A = 0$, esto no es posible, por lo tanto$A$ no es invertible.

Answer 1

Lamentablemente,$A^2=0$ no implica que$A=0$. Considere por ejemplo$A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$.

En cambio, si$A$ es invertible, entonces tiene un$B$% inverso. ¿Qué sucede si multiplicas ambos lados de$A^2=0$ por$B$ (a la izquierda, por ejemplo)?

Answer 2

$A^2=0$$\Rightarrow$$\det(A^2)=\det(A)^2=0$$\Rightarrow$$\det(A)=0$.

Answer 3

Si$A$ fuera invertible, entonces$BA=I$ para algunos$B$. Entonces $$ A = IA = (BA) A = BA ^ 2 = B0 = 0 $$ Pero ahora$BA=B0=0$, una contradicción.

Answer 4

Si$A$ es invertible, entonces$A^2$ también es invertible. Por lo tanto,$$I=(A^2)^{-1}A^2=(A^2)^{-1}0=0,$ $ a contradicción.

Answer 5

Por alguna razón, esta pregunta elemental ha obtenido varias respuestas, así que agregaré otra. La ecuación$A^2=0$ implica que el kernel de$A$ contiene la imagen de$A$. Según el teorema de la nulidad de rango, se deduce que el kernel de$A$ no puede ser trivial.