Tengo una duda con respecto a este complejo integral. Cómo calculo $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + i} dx$$ I keep getting the result $$ %0 y la mayoría probablemente hacerlo al revés.
Respuestas
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Sugerencia. Alternativamente, se puede observar que la $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^4}\:dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\left(x-\frac1x\right)^2+2}\:\frac{dx}{x^2}=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+2}\:dx=\frac{\pi }{\sqrt{2}} $$del mismo modo $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{1+x^4}\:dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\left(x-\frac1x\right)^2+2}\:dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+2}\:dx=\frac{\pi }{\sqrt{2}} $$ a continuación, escribiendo $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+i}=\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2-i}{x^4-i^2}\:dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2\:dx}{1+x^4}-i\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^4} $ $ , se puede concluir con la anterior identidades.
Dr. MV
Puntos
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Un enfoque eficiente es usar el teorema del residuo. Proceder, tenemos inmediatamente
$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+i}\,dx7&=2\pi i\text{Res}\left(\frac{1}{z^2+i}, z=e^{i3\pi/4}\right)\\ &=2\pi i \frac{1}{-2e^{-i\pi/4}}\\ &=-\pi e^{i3\pi/4}\\ &=\frac{\pi}{\sqrt{2}}(1-i) \end {Alinee el} $$
Y ya terminamos!
